Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncírculo $\Omega$ y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersecan en $X$ . Suponga que $AEFB$ está inscrito en un circuncírculo del triángulo $ABX$ tal que $EF$ y $AB$ son paralelos. $FX$ se encuentra con el circuncírculo del triángulo $CDX$ nuevamente en $G$ . Sea $EX$ se encuentra con $AB$ en $P$ , y $XG$ se encuentra con $CD$ en $Q$ . Denotemos por $S$ la intersección de la bisectriz perpendicular de $\overline{EG}$ y $\Omega$ tal que $S$ está más cerca de $A$ que de $B$ . Demuestre que la línea que pasa por $S$ paralela a $PQ$ es tangente a $\Omega$ .

Sea $\{a_n\}$ una secuencia de enteros que satisfacen las siguientes condiciones. \n$a_1=2021^{2021}$ \n$0 \le a_k < k$ para todos los enteros $k \ge 2$ \n$a_1-a_2+a_3-a_4+ \cdots + (-1)^{k+1}a_k$ es múltiplo de $k$ para todos los enteros positivos $k$ . \nDetermine el término $2021^{2022}$-ésimo de la secuencia $\{a_n\}$ .

Para enteros positivos $n, k, r$ , denotemos por $A(n, k, r)$ el número de tuplas de enteros $(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ que satisfacen las siguientes condiciones. \n$x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_k \ge 0$ \n$x_1+x_2+ \cdots +x_k = n$ \n$x_1-x_k \le r$ \nPara todos los enteros positivos $s, t \ge 2$ , demuestre que \n$$A(st, s, t) = A(s(t-1), s, t) = A((s-1)t, s, t).$$

Para todo entero positivo $n\geq 2$, demuestre que el producto de todos los números primos menores o iguales que $n$ es menor que $4^{n}$.

En cada uno de los $2007^{2}$ cuadrados unitarios en el tablero de ajedrez cuyo tamaño es $2007\times 2007$, hay una moneda en cada cuadrado de manera que sus 'caras' estén hacia arriba. Considere el proceso que voltea cuatro monedas consecutivas en la misma fila o voltea cuatro monedas consecutivas en la misma columna. Haciendo este proceso un número finito de veces, queremos hacer que las 'cruces' de todas las monedas estén hacia arriba, excepto una que se encuentra en la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima. Demuestre que esto es posible si y solo si ambos $i$ y $j$ son divisibles por $4$.

$ABC$ es un triángulo que no es isósceles. Sean el circuncentro y el ortocentro de $ABC$, $O$, $H$, respectivamente, y las alturas de $ABC$ sean $AD$, $BC$, $CF$. Sea $K\neq A$ la intersección de $AD$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, $L$ la intersección de $OK$ y $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $P$ la intersección de $AM$ y la línea que pasa por $L$ y es perpendicular a $BC$, $Q$ la intersección de $AD$ y la línea que pasa por $P$ y es paralela a $MH$, $R$ la intersección de la línea $EQ$ y $AB$, $S$ la intersección de $FD$ y $BE$. Si $OL = KL$, entonces demuestre que dos líneas $OH$ y $RS$ son ortogonales.

Para todos los reales positivos $a$, $b$ y $c$, ¿cuál es el valor de la constante positiva $k$ que satisface la siguiente desigualdad?\n$\frac{a}{c+kb}+\frac{b}{a+kc}+\frac{c}{b+ka}\geq\frac{1}{2007}$.

Dos secuencias reales $\{x_{n}\}$ y $\{y_{n}\}$ satisfacen la siguiente fórmula de recurrencia; $x_{0}= 1$, $y_{0}= 2007$ \n$x_{n+1}= x_{n}-(x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+1}-2)(y_{n}+y_{n+1})$, $y_{n+1}= y_{n}-(x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+1}-2)(x_{n}+x_{n+1})$\nEntonces demuestre que para todo entero no negativo $n$, ${x_{n}}^{2}\leq 2007$.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos cuyos dígitos son $1$ o $2$. Denotemos $T_{n}$ como el conjunto de todos los enteros que son divisibles por $n$, entonces encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $S\cap T_{n}$ es un conjunto infinito.

$A_{1}B_{1}B_{2}A_{2}$ es un cuadrilátero convexo y $A_{1}B_{1}\neq A_{2}B_{2}$. Demuestre que existe un punto $M$ tal que \n$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{MA_{1}}{MA_{2}}=\frac{MB_{1}}{MB_{2}}$