Considere la cadena de longitud $6$ compuesta por tres caracteres $a$, $b$, $c$. Para cada cadena, si dos $a$s están una al lado de la otra, o dos $b$s están una al lado de la otra, entonces reemplace $aa$ por $b$, y reemplace $bb$ por $a$. Además, si $a$ y $b$ están una al lado de la otra, o dos $c$s están una al lado de la otra, elimine las dos (es decir, elimine $ab$, $ba$, $cc$). Determine la cantidad de cadenas que se pueden reducir a $c$, la cadena de longitud 1, mediante los procesos de reducción mencionados anteriormente.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que el cuadrilátero $ABDE$ es un paralelogramo y el cuadrilátero $BCDE$ está inscrito en un círculo. El círculo con centro $C$ y radio $CD$ interseca la línea $BD, DE$ en los puntos $F, G(\neq D)$ , y los puntos $A, F, G$ están en la línea l. Sea $H$ el punto de intersección de la línea $l$ y el segmento $BC$ . Considere el conjunto de círculos $\Omega$ que satisfacen la siguiente condición. El círculo $\Omega$ pasa por $A, H$ e interseca los lados $AB, AE$ en un punto distinto de $A$ . Sean $P, Q(\neq A)$ el punto de intersección del círculo $\Omega$ y los lados $AB, AE$ . Demuestre que $AP+AQ$ es constante.

Para algún entero positivo $n$ , existen $n$ enteros positivos diferentes $a_1, a_2, ..., a_n$ tales que $(1)$ $a_1=1, a_n=2000$ $(2)$ $\forall i\in \mathbb{Z}$ $s.t.$ $2\le i\le n, a_i -a_{i-1}\in \{-3,5\}$ Determine el valor máximo de n.

Encuentre un par de enteros positivos coprimos $(m,n)$ distintos de $(41,12)$ tales que $m^2-5n^2$ y $m^2+5n^2$ sean ambos cuadrados perfectos.

Hay n niños y m niñas en la Escuela Secundaria Matemática Daehan. Sea $d(B)$ el número de niñas que conocen al niño $B$ entre sí, y sea $d(G)$ el número de niños que conocen a la niña $G$ entre sí. Cada niña conoce al menos a un niño entre sí. Demuestre que existe un niño $B$ y una niña $G$ que se conocen entre sí en la condición de que $\frac{d(B)}{d(G)}\ge\frac{m}{n}$ .

$H$ es el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Suponga que $(AH)$ se encuentra con $AB$ y $AC$ en $D,E$ respectivamente. $AH$ se encuentra con $DE$ en $P$ , y la línea que pasa por $H$ perpendicular a $AH$ se encuentra con $DM$ en $Q$ . Demuestre que $P,Q,B$ son colineales.

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $$x^2f(x)+yf(y^2)=f(x+y)f(x^2-xy+y^2)$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Para la función $f:\mathbb Z^+ \to \mathbb R$ y los enteros positivos coprimos $p,q$ ; defina $f_p,f_q$ como $$f_p(x)=f(px)-f(x), f_q(x)=f(qx)-f(x) (x\in\mathbb Z^+)$$\n$f$ satisface las siguientes condiciones.\n$(i)$ para todo $r$ que no es múltiplo de $pq$, $f(r)=0$\n$(ii)$ $\exists m\in \mathbb Z^+$ $s.t.$ $\forall x\in \mathbb Z^+, f_p(x+m)=f_p(x)$ y $f_q(x+m)=f_q(x)$\nDemuestre que si $x\equiv y$ $(mod m)$ , entonces $f(x)=f(y)$ ( $x, y\in \mathbb Z^+$ ) .

Encuentre todos los pares de constantes $(a,b)$ tales que existe un polinomio de coeficientes reales $p(x)$ y $q(x)$ que satisfacen la condición siguiente.\nCondición: $\forall x\in \mathbb R,$ $p(x^2)q(x+1)-p(x+1)q(x^2)=x^2+ax+b$

El triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\overline {AB}<\overline {BC}<\overline {CA}$. Denotemos el pie de la perpendicular desde $A,B,C$ a los lados opuestos como $D,E,F$. Sea $P$ un pie de la perpendicular desde $F$ a $DE$, y $Q(\neq F)$ un punto de intersección de la línea $FP$ y la circunferencia circunscrita de $BDF$. Demuestre que $\angle PBQ=\angle PAD$.