Hormigas, llamadas Anna y Bob, están ubicadas en los vértices \(A\) y \(B\) respectivamente de un cubo \(ABCD A_1 B_1 C_1 D_1\) , con un cubo de azúcar colocado en el vértice \(C_1\) . Se sabe que Bob puede moverse a una velocidad de $20$ metros por minuto. Determine la velocidad mínima en metros enteros por minuto a la que Anna debe poder viajar para alcanzar el cubo de azúcar en \(C_1\) antes que Bob.

Sea $P$ un punto dentro de un cuadrado $ABCD,$ tal que $\angle BPC = 135^\circ $ y el área del triángulo $ADP$ es el doble del área del triángulo $PCD.$ Encuentre $\frac {AP}{DP}.$

Anna tomó un número \(N\) , que está escrito en base 10 y tiene menos de 9 dígitos, y lo duplicó escribiendo otro \(N\) a su izquierda, creando un nuevo número con el doble de dígitos. Bob calculó la suma de todos los enteros del 1 a \(N\) . Resultó que el nuevo número de Anna es 7 veces mayor que la suma calculada por Bob. Determine \(N\) .

En un río con una velocidad de corriente de \(3 \, \text{km/h}\) , hay dos puertos. Todos los sábados, un crucero sale del Puerto 1 hacia el Puerto 2, pasa la noche y regresa al Puerto 1 el domingo. En el barco viven dos caracoles, Romeo y Julieta. Un sábado, inmediatamente después de que el barco zarpa, ambos caracoles comienzan a moverse para encontrarse y lo hacen exactamente cuando el barco llega al Puerto 2. El domingo siguiente, cuando el barco zarpa del Puerto 2, Romeo comienza a moverse hacia la casa de Julieta y llega allí exactamente cuando el barco regresa al Puerto 1. Dado que Julieta se mueve a la mitad de la velocidad de Romeo, determine la velocidad del barco en agua tranquila.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Los segmentos $AE$ y $BF$ se intersecan en $X$ y los segmentos $BD$ y $CE$ se intersecan en $Y.$ Se sabe que $$ \angle XBC = \angle XDE = \angle YAB = \angle YEF = 80^\circ \text{ y } \angle XCB = \angle XED = \angle YBA = \angle YFE = \angle 70^\circ.$$ Sean $P$ y $Q$ tales puntos en la línea $XY$ que los segmentos $PX$ y $AF$ se intersecan, los segmentos $QY$ y $CD$ se intersecan y $\angle APF = \angle CQD = 30 ^\circ.$ Estime la suma: \[ \frac{BX}{BF} + \frac{BY}{BD} + \frac{EX}{EA} + \frac{EY}{EC} + \frac{PX}{PY} + \frac{QY}{QX} \]

Encuentre el número de pares ordenados $(a, b, c, d)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: \[a + 2b + 3c + 1000d = 2024.\]

En un trapezoide convexo $ABCD$ , el lado $AD$ es dos veces la longitud de los otros lados. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AC$ y $BD$ , respectivamente, tales que $\angle BEC = 70^\circ$ y $\angle BFC = 80^\circ$ . Determine la razón de las áreas de los cuadriláteros $BEFC$ y $ABCD$ .

Dado el rebus: $$AB \cdot AC \cdot BC = BBBCCC $$ donde diferentes letras corresponden a diferentes dígitos y las mismas letras a los mismos dígitos, encuentre la suma $AB + AC + BC.$

Usando cada uno de los diez dígitos exactamente una vez, construya dos números de cinco dígitos de tal manera que su diferencia sea minimizada. Determine esta diferencia mínima.

Sea ABC un triángulo, y sea \(I_A, I_B, I_C\) los excentros opuestos a A, B, C respectivamente. Demuestra que el área del triángulo \(I_A I_B I_C\) es al menos cuatro veces el área del triángulo ABC.