Leonard tiene un reloj de agujas con solo manecillas de horas y minutos. Determine el número de minutos en un día en los que el ángulo entre las manecillas del reloj no supera 1 grado. Ambas manecillas del reloj se mueven continuamente y a una velocidad constante.

Un estudiante tomó una hoja de papel rectangular con una longitud de un metro y un ancho de cinco centímetros. El estudiante unió los extremos, girando un extremo 180 grados y pegando las superficies para crear una figura llamada cinta de Möbius. En un lado de esta cinta, el estudiante colocó una pulga y una hormiga. Se sabe que si la pulga y la hormiga se mueven en direcciones diferentes en la cinta de Möbius, se encontrarán en 2 minutos. Sin embargo, si se mueven en la misma dirección, se encontrarán en 7 minutos. Dado que la pulga es más rápida que la hormiga y ambas se mueven a velocidades constantes, determine la velocidad de la pulga.

Consideremos un rectángulo $ABCD$ con $BC = 2 \cdot AB$ . Sea $\omega$ el círculo que toca los lados $AB$ , $BC$ y $AD$ . Una tangente trazada desde el punto $C$ al círculo $\omega$ interseca el segmento $AD$ en el punto $K$ . Determine la razón $\frac{AK}{KD}$ .

Sea $n$ algún entero positivo. La universidad libre acepta $n^2$ estudiantes de primer año, donde inicialmente ningún estudiante se conoce. Se sabe que los estudiantes solo pueden conocerse en fiestas, que son organizadas por la administración de la universidad. El objetivo de la administración es asegurarse de que no exista un grupo de $n$ estudiantes donde ninguno de ellos se conozca. Organizar una fiesta con $m$ miembros incurre en un costo de $m^2 - m$. Determine el costo mínimo para que la administración cumpla su objetivo.

Encuentra la constante M más pequeña, de modo que para cualquier número real $a_1, a_2, \dots a_{2023} \in [4, 6]$ y $b_1, b_2, \dots b_{2023} \in [9, 12] $ se cumpla la siguiente desigualdad: $$ \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2023}^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_{2023}^2} \leq M \cdot \left ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_{2023} b_{2023} \right) $$

Sea $ABCD$ un trapecio, con $AD \parallel BC$, sea $M$ el punto medio de $AD$ y sea $C_1$ el punto simétrico a $C$ con respecto a la línea $BD$. El segmento $BM$ se encuentra con la diagonal $AC$ en el punto $K$, y el rayo $C_1K$ se encuentra con la línea $BD$ en el punto $H$. Demuestra que $\angle{AHD}$ es un ángulo recto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con longitudes de lado que satisfacen la igualdad: $$ AB \cdot CD = AD \cdot BC = AC \cdot BD.$$ Determine la suma de los ángulos agudos del cuadrilátero $ABCD$.

Sea $n$ un entero positivo. El equipo de danza folclórica georgiana consta de $2n$ bailarines, con $n$ hombres y $n$ mujeres. A cada bailarín, tanto hombre como mujer, se le asigna un número del 1 al $n$. Durante una de sus danzas, todos los bailarines se alinean en una sola línea. Su deseo es que, para cada entero $k$ del 1 al $n$, haya exactamente $k$ bailarines colocados entre el hombre con el número $k$ y la mujer con el número $k$. Demuestra las siguientes afirmaciones: a) Si $n \equiv 1 \text{ o } 2 \mod{4}$, entonces los bailarines no pueden cumplir su deseo. b) Si $n \equiv 0 \text{ o } 3 \mod{4}$, entonces los bailarines pueden cumplir su deseo.

Considera una secuencia de 100 enteros positivos. Cada miembro de la secuencia, comenzando desde el segundo, se deriva multiplicando el número anterior por 2 o dividiéndolo por 16. ¿Es posible que la suma de estos 100 números sea igual a $2^{2023}$ ?

Encuentra todos los $x$ que satisfacen la siguiente ecuación: \[ \sqrt {1 + \frac {20}x } = \sqrt {1 + 24x} + 2 \]