Dado un entero positivo $n \geq 2$ . Ahora Cindy llena cada celda de la cuadrícula de $n*n$ con un entero positivo no mayor que $n$ tal que los números en cada fila estén en un orden no decreciente (de izquierda a derecha) y los números en cada columna también estén en un orden no decreciente (de arriba a abajo). Llamamos a dos celdas adyacentes un 'dominó' , si están llenas con el mismo número. Ahora Cindy quiere que el número de 'dominós' sea lo más pequeño posible. Encuentra el número más pequeño de 'dominós' que Cindy puede alcanzar. (Aquí, dos celdas se llaman adyacentes si comparten un lado común)

$AB,AC$ son tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$ , respectivamente. $D,E,F$ se encuentran en los segmentos $BC,CA,AB$ tales que $AF<AE$ y $\angle FDB= \angle EDC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle FEC$ interseca a $\Omega$ en $G$ y $C$ . Demuestra que $\angle AEF= \angle BGD$

Encuentra todos los enteros $k$ , tales que existe una secuencia de enteros ${\{a_n\}}$ que satisface las dos condiciones siguientes: (1) Para todos los enteros positivos $n$ , $a_{n+1}={a_n}^3+ka_n+1$ (2) $|a_n| \leq M$ se cumple para algún $M$ real

Para el entero positivo $n$ , denotemos $S_n=1^{2024}+2^{2024}+ \cdots +n^{2024}$ . Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ , tales que $S_n$ no es divisible por $1865$ pero $S_{n+1}$ es divisible por $1865$

El entero positivo formado después de escribir $k$ enteros positivos consecutivos de menor a mayor se llama número $k-\text{continuo}$. Por ejemplo, $99100101$ es un número $3-\text{continuo}$. Demuestre que: para $\forall N$ , $k\in\mathbb Z^+$ , debe haber un número $k-\text{continuo}$ que pueda ser divisible por $N$ .

Dado $n\geq 2$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n\in\mathbb {R}$ satisfacen $$a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots \geqslant a_n\geqslant 0,a_1+a_2+\cdots +a_n=n.$$ Encuentre el valor mínimo de $a_1+a_1a_2+\cdots +a_1a_2\cdots a_n$ .

Encuentre el valor máximo de $M$ , si elige $10$ números reales diferentes al azar en $[1,M]$ , debe haber $3$ números $a<b<c$ , que satisfagan que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíz real.

Como se muestra en la figura, en el ángulo agudo $\vartriangle ABC$ , $AB > AC$ , $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita $\Omega$ de $\vartriangle ABC$ . $K$ es el punto de intersección de la bisectriz del ángulo externo $\angle BAC$ y la línea de extensión de $BC$ . Desde el punto $A$ dibuje una línea perpendicular a $BC$ y tome un punto $D$ (diferente de $A$ ) en esa línea, tal que $DM = AM$ . Sea la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ADK$ que interseca al círculo $\Omega$ en el punto $A$ y en otro punto $T$ . Demuestre que $AT$ biseca el segmento de línea $BC$ .

En algunos cuadrados de una cuadrícula de $2012\times 2012$ hay algunos escarabajos, tales que ningún cuadrado contiene más de un escarabajo. En un momento dado, todos los escarabajos vuelan fuera de la cuadrícula y luego aterrizan en la cuadrícula de nuevo, también satisfaciendo la condición de que hay como máximo un escarabajo de pie en cada cuadrado. El vector desde el centro del cuadrado desde el que un escarabajo $B$ vuela hasta el centro del cuadrado en el que aterriza se llama el vector de traslación del escarabajo $B$ . Para todas las configuraciones iniciales y finales posibles, encuentra la longitud máxima de la suma de los vectores de traslación de todos los escarabajos.

Encuentra todos los enteros $k\ge 3$ con la siguiente propiedad: Existen enteros $m,n$ tales que $1<m<k$ , $1<n<k$ , $\gcd (m,k)=\gcd (n,k) =1$ , $m+n>k$ y $k\mid (m-1)(n-1)$ .