Sean $ a,b,c \in (0,1) $ y $ab+bc+ca=4abc .$ Demuestra que $$\sqrt{a+b+c}\geq \sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}$$

Como se muestra en la figura, $AB$ es el diámetro del círculo $\odot O$ , y las cuerdas $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $E$ , $EF\perp AB$ se interseca en el punto $F$ , y $FC$ se interseca con $BD$ en el punto $G$ . El punto $M$ se encuentra en $AB$ tal que $MD=MG$ . Demuestra que los puntos $F$ , $M$ , $D$ , $G$ se encuentran en un círculo.

En un torneo de ajedrez todos contra todos, cada jugador juega contra todos los demás exactamente una vez. El ganador de cada partida obtiene $ 1$ punto y el perdedor obtiene $ 0$ puntos. Si el juego está empatado, cada jugador obtiene $ 0.5$ puntos. Dado un entero positivo $ m$ , se dice que un torneo tiene la propiedad $ P(m)$ si se cumple lo siguiente: entre cada conjunto $ S$ de $ m$ jugadores, hay un jugador que ganó todos sus juegos contra los otros $ m-1$ jugadores en $ S$ y un jugador que perdió todos sus juegos contra los otros $ m - 1$ jugadores en $ S$ . Para un entero dado $ m \ge 4$ , determine el valor mínimo de $ n$ (como una función de $ m$ ) tal que se cumpla lo siguiente: en cada torneo de ajedrez todos contra todos de $ n$ jugadores con la propiedad $ P(m)$ , los puntajes finales de los $ n$ jugadores son todos distintos.

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ enteros cada uno con valor absoluto menor o igual a $ 10$ . El polinomio cúbico $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ satisface la propiedad \[ \Big|f\left(2 + \sqrt 3\right)\Big| < 0.0001. \] Determina si $ 2 + \sqrt 3$ es una raíz de $ f$ .

Para $ a,b,c\geq 0$ con $ a+b+c=1$ , demuestra que $ \sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$

El punto $D$ está dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle DAC = \angle DCA = 30^{\circ}$ y $\angle DBA = 60^{\circ}$ . El punto $E$ es el punto medio del segmento $BC$ . El punto $F$ está en el segmento $AC$ con $AF = 2FC$ . Demuestra que $DE \perp EF$ .

El conjunto $ S$ consta de $ n > 2$ puntos en el plano. El conjunto $ P$ consta de $ m$ líneas en el plano tales que cada línea en $ P$ es un eje de simetría para $ S$ . Demuestra que $ m\leq n$ , y determina cuándo se cumple la igualdad.

Sea $ n$ un entero mayor que $ 3$ , y sean $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ números reales no negativos con $ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 2$ . Determina el valor mínimo de \[ \frac{a_1}{a_2^2 + 1}+ \frac{a_2}{a^2_3 + 1}+ \cdots + \frac{a_n}{a^2_1 + 1}.\]

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Los puntos $ D$ , $ E$ y $ F$ se encuentran en los segmentos $ BC$ , $ CA$ y $ AB$ , respectivamente, y cada uno de los tres segmentos $ AD$ , $ BE$ y $ CF$ contiene el circuncentro de $ ABC$ . Demuestra que si dos de las razones $ \frac{BD}{DC}$ , $ \frac{CE}{EA}$ , $ \frac{AF}{FB}$ , $ \frac{BF}{FA}$ , $ \frac{AE}{EC}$ , $ \frac{CD}{DB}$ son enteros, entonces el triángulo $ ABC$ es isósceles.

Un entero positivo $ m$ se llama bueno si existe un entero positivo $ n$ tal que $ m$ es el cociente de $ n$ por el número de divisores enteros positivos de $ n$ (incluyendo $ 1$ y $ n$ mismo). Demuestra que $ 1, 2, \ldots, 17$ son números buenos y que $ 18$ no es un número bueno.