Sea el número real $m>1$ que satisface $\log_9 \log_8 m =2024$ . Encuentra el valor de $\log_3 \log_2 m$ .

Una secuencia $\{z_n\}$ satisface que para cualquier entero positivo $i,$ $z_i\in\{0,1,\cdots,9\}$ y $z_i\equiv i-1 \pmod {10}.$ Suponga que hay $2021$ reales no negativos $x_1,x_2,\cdots,x_{2021}$ tales que para $k=1,2,\cdots,2021,$ $$\sum_{i=1}^kx_i\geq\sum_{i=1}^kz_i,\sum_{i=1}^kx_i\leq\sum_{i=1}^kz_i+\sum_{j=1}^{10}\dfrac{10-j}{50}z_{k+j}.$$ Determine el menor valor posible de $\sum_{i=1}^{2021}x_i^2.$

Determine todos los pares de enteros impares positivos $(a,b),$ tales que $a,b>1$ y $$7\varphi^2(a)-\varphi(ab)+11\varphi^2(b)=2(a^2+b^2),$$ donde $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAD$ y la línea $BC$ se intersecan en $E.$ $M$ es el punto medio del segmento $AE.$ La bisectriz externa del ángulo $\angle BCD$ y la línea $AD$ se intersecan en $F.$ Las líneas $MF$ y $AB$ se intersecan en $G.$ Pruebe que si $AB=2AD,$ entonces $MF=2MG.$

Sea $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ un conjunto con $2n$ elementos distintos, y $B_i\subseteq A$ para cualquier $i=1,2,\cdots,m.$ Si $\bigcup_{i=1}^m B_i=A,$ decimos que la $m-$ tupla ordenada $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A.$ Si $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A,$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,m$ y cualquier $j=1,2,\cdots,n,$ $\{a_j,b_j\}$ no es un subconjunto de $B_i,$ entonces decimos que la $m-$ tupla ordenada $(B_1,B_2,\cdots,B_m)$ es una $m-$ cobertura ordenada de $A$ sin pares. Defina $a(m,n)$ como el número de $m-$ coberturas ordenadas de $A,$ y $b(m,n)$ como el número de $m-$ coberturas ordenadas de $A$ sin pares. $(1)$ Calcule $a(m,n)$ y $b(m,n).$ $(2)$ Sea $m\geq2,$ y hay al menos un entero positivo $n,$ tal que $\dfrac{a(m,n)}{b(m,n)}\leq2021,$ Determine los valores máximos posibles de $m.$

Para un entero positivo $k,$ decimos que es un entero Tauro si podemos eliminar un elemento del conjunto $M_k=\{1,2,\cdots,k\},$ tal que la suma de los $k-1$ elementos restantes es un cuadrado perfecto positivo. Por ejemplo, $7$ es un entero Tauro, porque si eliminamos $3$ de $M_7=\{1,2,3,4,5,6,7\},$ la suma de los $6$ elementos restantes es $25,$ que es un cuadrado perfecto positivo. $(1)$ Determine si $2021$ es un entero Tauro. $(2)$ Para un entero positivo $n,$ determine el número de enteros Tauro en $\{1,2,\cdots,n\}.$

Sean $a,b,c\geq 0$ y $a^2+b^2+c^2\leq 1.$ Pruebe que $$\frac{a}{a^2+bc+1}+\frac{b}{b^2+ca+1}+\frac{c}{c^2+ab+1}+3abc<\sqrt 3$$

Sea $p\geq 5$ un número primo, y sea $M=\{1,2,\cdots,p-1\}.$ Defina $$T=\{(n,x_n):p|nx_n-1\ \textup{y}\ n,x_n\in M\}.$$ Si $\sum_{(n,x_n)\in T}n\left[\dfrac{nx_n}{p}\right]\equiv k \pmod {p},$ con $0\leq k\leq p-1,$ donde $\left[\alpha\right]$ denota el entero más grande que no excede a $\alpha,$ determine el valor de $k.$

En $\triangle ABC$ , $AB=AC>BC$ , los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC$ respectivamente , $G $ es el punto medio del segmento $AH$ , $BE$ es la altura sobre $AC$ . Demuestre que si $OE\parallel BC$ , entonces $H$ es el incentro de $\triangle GBC$ .

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b),$ tales que $$14\varphi^2(a)-\varphi(ab)+22\varphi^2(b)=a^2+b^2,$$ donde $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler.