Sean $a,b,c$ reales positivos distintos por pares, pruebe que $$\dfrac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}<\dfrac17(\dfrac{1}{|a-b|}+\dfrac{1}{|b-c|}+\dfrac{1}{|c-a|}).$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $E$ un punto en el lado $BC,$ $F$ un punto en el lado $AE,$ $G$ un punto en la bisectriz del ángulo exterior de $\angle BCD,$ tal que $EG=FG,$ $\angle EAG=\dfrac12\angle BAD.$ Pruebe que $AB\cdot AF=AD\cdot AE.$

Para conmemorar el aniversario número $43$ del restablecimiento de las competencias de matemáticas, un entusiasta de las matemáticas organiza los primeros $2021$ enteros $1,2,\dots,2021$ en una secuencia $\{a_n\}$ en un cierto orden, de modo que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en la secuencia sea un múltiplo de $43$ . (1) Si la secuencia de números está conectada de un extremo a otro en un círculo, pruebe que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en el círculo también es un múltiplo de $43$ ; (2) Determine el número de secuencias $\{a_n\}$ que cumplen las condiciones de la pregunta.

Suponga que hay $n\geq{5}$ puntos diferentes dispuestos arbitrariamente en un círculo, las etiquetas son $1, 2,\dots $ , y $n$ , y la permutación es $S$ . Para una permutación , una 'cadena descendente' se refiere a varios puntos consecutivos en el círculo , y sus etiquetas son una secuencia descendente en el sentido de las agujas del reloj (la longitud de la secuencia es al menos $2$ ) , y la cadena descendente no se puede extender a más larga . El punto con la etiqueta más grande en la cadena se llama el 'punto de inicio del descenso', y los otros puntos en la cadena se llaman el 'punto de no inicio del descenso' . Por ejemplo: hay dos cadenas descendentes $5, 2$ y $4, 1$ en $5, 2, 4, 1, 3$ dispuestos en el sentido de las agujas del reloj, y $5$ y $4$ son sus puntos de inicio de descenso respectivamente, y $2, 1$ es el punto de no inicio del descenso . Considere las siguientes operaciones: en la primera ronda, encuentre todas las cadenas descendentes en la permutación $S$ , elimine todos los puntos de no inicio del descenso , y luego repita la primera ronda de operaciones para la disposición de los puntos restantes, hasta que no se puedan encontrar más cadenas descendentes. Sea $G(S)$ el número de todas las cadenas descendentes que la permutación $S$ ha aparecido en las operaciones, $A(S)$ sea el valor promedio de $G(S)$ de todas las posibles permutaciones de n puntos $S$ . (1) Encuentre $A(5)$ . (2) Para $n\ge{6}$ , pruebe que $\frac{83}{120}n-\frac{1}{2} \le A(S) \le \frac{101}{120}n-\frac{1}{2}.$

Sea $p$ un primo impar y $\{u_i\}_{i\ge 0}$ una secuencia entera. Sea $v_n=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} p^iu_i$ donde $C_n^i$ denota los coeficientes binomiales. Si $v_n=0$ se cumple para infinitos $n$ , pruebe que se cumple para todo entero positivo $n$ .

En $\triangle ABC$ , $AB=AC>BC$ , los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC$ respectivamente , $G $ es el punto medio del segmento $AH$ , $BE$ es la altura sobre $AC$ . Demuestre que si $OE\parallel BC$ , entonces $H$ es el incentro de $\triangle GBC$ .

Una secuencia $\{a_n\}$ se define recursivamente por $a_1=\frac{1}{2}, $ y para $n\ge 2,$ $0<a_n\leq a_{n-1}$ y \[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_na_{n-1}+a_n+1)=0.\] $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\};$ $(2)$ Sea $S_n=a_1+\cdots+a_n.$ Pruebe que para $n\ge 1,$ $\ln\left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln(n+1).$

Un $n$ -gono convexo y sus $n-3$ diagonales que no tienen un punto común dentro del polígono forman un grafo de subdivisión. Demuestra que si y solo si $3|n$ , existe un grafo de subdivisión que se puede dibujar en un solo trazo cerrado. (i.e. comienza desde un cierto vértice, pasa por cada arista y diagonal exactamente una vez, finalmente regresa al vértice de inicio.)

Dado un conjunto finito $X$ , sea $f$ una regla tal que $f$ mapea cada subconjunto de elemento par $E$ de $X$ (i.e. $E \subseteq X$ , $|E|$ es par) en un número real $f(E)$ . Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (I) existe un subconjunto de elemento par $D$ de $X$ tal que $f(D)>1990$ ; (II) para dos subconjuntos de elemento par disjuntos $A,B$ de $X$ , la ecuación $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$ se cumple. Demuestra que existen dos subconjuntos $P,Q$ de $X$ que satisfacen: (1) $P\cap Q=\emptyset$ , $P\cup Q=X$ ; (2) para cualquier subconjunto de elemento no par $S$ de $P$ (i.e. $S\subseteq P$ , $|S|$ es impar), tenemos $f(S)>1990$ ; (3) para cualquier subconjunto de elemento par $T$ de $Q$ , tenemos $f(T)\le 1990$ .

Dado un número entero positivo $a$ y dos números reales $A$ y $B$ , encuentra una condición necesaria y suficiente sobre $A$ y $B$ para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga una solución entera:\n\[ \left\{\begin{array}{cc} x^2+y^2+z^2=(Ba)^2\\ x^2(Ax^2+By^2)+y^2(Ay^2+Bz^2)+z^2(Az^2+Bx^2)=\dfrac{1}{4}(2A+B)(Ba)^4\end{array}\right.\n\]