Una función $f(x)$ definida para $x\ge 0$ satisface las siguientes condiciones: i. para $x,y\ge 0$ , $f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$ ; ii. existe una constante $M$ ( $M>0$ ) , tal que $|f(x)|\le M$ cuando $0\le x\le 1$ . Demuestra que $f(x)\le x^2$ .

Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ un enlace factorial de $x$ si la secuencia $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$ . Mientras tanto, definimos $l$ como la longitud del enlace factorial $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ . Denotamos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número del enlace factorial más largo de $x$ respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$ , donde $k,m,n$ son números naturales, encuentra el valor de $L(x)$ y $R(x)$ .

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ , el lado $AB$ no es paralelo al lado $CD$ . El círculo $O_1$ que pasa por $A$ y $B$ es tangente al lado $CD$ en $P$ . El círculo $O_2$ que pasa por $C$ y $D$ es tangente al lado $AB$ en $Q$ . El círculo $O_1$ y el círculo $O_2$ se encuentran en $E$ y $F$ . Demuestra que $EF$ biseca el segmento $PQ$ si y solo si $BC\parallel AD$ .

Dados enteros positivos $n,k$ tales que $2 \le n <2^k$ . Demuestra que existe un subconjunto $A$ de $\{0,1,\cdots,n\}$ tal que para cualquier $x \neq y \in A$ , ${y\choose x}$ es par, y $$|A| \ge \frac{{k\choose \lfloor \frac{k}{2} \rfloor}}{2^k} \cdot (n+1)$$

Encuentra todos los enteros $n$ tales que la siguiente propiedad se cumple: para cualesquiera números reales positivos $a,b,c,x,y,z$ , con $max(a,b,c,x,y,z)=a$ , $a+b+c=x+y+z$ y $abc=xyz$ , la desigualdad $$a^n+b^n+c^n \ge x^n+y^n+z^n$$ se cumple.

Demuestra que existe un subconjunto $A$ de $\{1,2,\cdots,2^n\}$ con $n$ elementos, tal que para cualesquiera dos subconjuntos no vacíos diferentes de $A$ , la suma de los elementos de un subconjunto no divide al otro.

$60$ puntos se encuentran en el plano, tal que no hay tres puntos colineales. Demuestra que uno puede dividir los puntos en $20$ grupos, con $3$ puntos en cada grupo, tal que los triángulos ( $20$ en total) consisten de tres puntos en un grupo tienen una intersección no vacía.

Un grafo $G(V,E)$ es libre de triángulos, pero añadir cualquier arista al grafo formará un triángulo. Se da que $|V|=2019$ , $|E|>2018$ , encuentra el mínimo de $|E|$ .

El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene circunferencia circunscrita $(O)$ . Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$ , y $E$ y $F$ se encuentran en $AB$ y $AD$ respectivamente tales que $EF$ pasa por $O$ y $EO=OF$ . Sea $EN$ se encuentra con $FM$ en $P$ . Denota $S$ como el circuncentro de $\triangle PEF$ . La línea $PO$ interseca a $AD$ y $BA$ en $Q$ y $R$ respectivamente. Supón que $OSPC$ es un paralelogramo. Demuestra que $AQ=AR$ .

Hay $n(n\ge 8)$ aeropuertos, algunos de los cuales tienen rutas directas de un solo sentido entre ellos. Para cualesquiera dos aeropuertos $a$ y $b$ , hay como máximo una ruta directa de un solo sentido de $a$ a $b$ (puede haber rutas directas de un solo sentido tanto de $a$ a $b$ como de $b$ a $a$ ) . Para cualquier conjunto $A$ compuesto por aeropuertos $(1\le | A| \le n-1)$ , hay al menos $4\cdot \min \{|A|,n-|A| \}$ rutas directas de un solo sentido desde el aeropuerto en $A$ hasta el aeropuerto que no está en $A$ . Pruebe que: Para cualquier aeropuerto $x$ , podemos comenzar desde $x$ y regresar al aeropuerto en no más de $\sqrt{2n}$ rutas directas de un solo sentido.