En un tablero de ajedrez de $7\times 8$ , $56$ piedras se colocan en los cuadrados. Ahora tenemos que quitar algunas de las piedras tal que después de la operación, no haya cinco piedras adyacentes horizontalmente, verticalmente o diagonalmente. Encuentra el número mínimo de piedras que deben ser removidas.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AB<AC$ . $AD$ es la altura trazada a $BC$ y $P$ es un punto en $AD$ . Sea $PE\perp AC$ en $E$ , $PF\perp AB$ en $F$ y sean $J,K$ los circuncentros de los triángulos $BDF, CDE$ respectivamente. Demuestra que $J,K,E,F$ son concíclicos si y sólo si $P$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Se sabe que los subconjuntos $A_1,A_2, \cdots , A_n$ del conjunto $I=\{1,2,\cdots ,101\}$ satisfacen la siguiente condición $$\text{Para cualquier } i,j \text{ } (1 \leq i < j \leq n) \text{, existe } a,b \in A_i \cap A_j \text{ de modo que } (a,b)=1$$ Determine el entero positivo máximo $n$ . * $(a,b)$ significa $\gcd (a,b)$

En $\triangle ABC$ , $\angle BAC = 60^{\circ}$ , el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ , $O_1$ y $O_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ , respectivamente. Las líneas $BO_1$ y $CO_2$ se intersecan en el punto $P$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ y $H$ es el ortocentro de $\triangle PBC$ , entonces pruebe que los cuatro puntos $B,C,I,H$ están en la misma circunferencia.

¿Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $19|1+2^n+3^n+4^n$ ? Justifica tu afirmación.

Dados $a,b,c \in \mathbb{R}$ que satisfacen $a+b+c=a^2+b^2+c^2=1$ , demuestre que $\frac{-1}{4} \leq ab \leq \frac{4}{9}$ .

Para todos los números reales positivos $a,b,c$ , pruebe que $$\frac{a^3+b^3}{ \sqrt{a^2-ab+b^2} } + \frac{b^3+c^3}{ \sqrt{b^2-bc+c^2} } + \frac{c^3+a^3}{ \sqrt{c^2-ca+a^2} } \geq 2(a^2+b^2+c^2)$$

Encuentre todos los enteros positivos $a$ para que para cualquier número de $\left \lfloor \frac{a+1}{2} \right \rfloor$ - dígitos que se compone solo de los dígitos $0$ y $2$ (donde $0$ no puede ser el primer dígito) no es múltiplo de $a$ .

Dos estudiantes $A$ y $B$ juegan un juego en un tablero de ajedrez de $20 \text{ x } 20$ . Se sabe que dos cuadrados se dicen adyacentes si los dos cuadrados tienen un lado común. Al principio, hay una pieza de ajedrez en un cierto cuadrado del tablero de ajedrez. Dado que $A$ será el primero en mover la pieza de ajedrez, $A$ y $B$ moverán alternativamente esta pieza de ajedrez a un cuadrado adyacente. Además, el lado común de cualquier par de cuadrados adyacentes solo se puede pasar una vez. Si el oponente no puede moverse más, entonces será declarado el ganador (para aclarar, ya que la redacción no fue tan buena, pierdes si no puedes moverte). ¿Quién entre $A$ y $B$ tiene una estrategia ganadora? Justifica tu afirmación.

Se dice que un conjunto de $k$ enteros es un sistema de residuos completo módulo $k$ si no hay dos de sus elementos que sean congruentes módulo $k$ . Encuentre todos los enteros positivos $m$ para que haya infinitos enteros positivos $n$ donde $\{ 1^n,2^n, \dots , m^n \}$ es un sistema de residuos completo módulo $m$ .