Dado un entero positivo $n (n>2004)$ , ponemos 1, 2, 3, … , $n^2$ en cuadrados de un tablero de ajedrez de $n\times n$ con un número en un cuadrado. Un cuadrado se llama 'buen cuadrado' si el cuadrado satisface las siguientes condiciones: 1) Hay al menos 2004 cuadrados que están en la misma fila con el cuadrado tal que cualquier número dentro de estos 2004 cuadrados es menor que el número dentro del cuadrado. 2) Hay al menos 2004 cuadrados que están en la misma columna con el cuadrado tal que cualquier número dentro de estos 2004 cuadrados es menor que el número dentro del cuadrado. Encuentra el valor máximo del número del 'buen cuadrado'.

(1) Determine si existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ con términos enteros positivos, tal que $a^2_{n+1}\ge 2a_na_{n+2}$ para cualquier entero positivo $n$ . (2) Determine si existe una secuencia infinita $\{a_n\}$ con términos irracionales positivos, tal que $a^2_{n+1}\ge 2a_na_{n+2}$ para cualquier entero positivo $n$ .

En $\triangle$ A BC, los puntos D, M se encuentran en el lado BC y AB respectivamente, el punto P se encuentra en el segmento AD. La línea DM interseca los segmentos BP, AC (parte extendida), PC (parte extendida) en E, F y N respectivamente. Demuestre que si DE=DF, entonces DM=DN.

Sean los números reales a, b, c que satisfacen $a^2+2b^2+3c^2= \frac{3}{2}$ , demostrar que $3^{-a}+9^{-b}+27^{-c}\ge1$ .

Encuentre todas las ternas $(p,q,n)$ que satisfacen $q^{n+2} \equiv 3^{n+2} (\mod p^n) ,\quad p^{n+2} \equiv 3^{n+2} (\mod q^n)$ donde $p,q$ son primos impares y $n$ es un entero positivo.

Encuentre el entero más pequeño $n$ que satisfaga la siguiente condición: sin importar cómo se coloreen los vértices de un $n$ - gono regular con rojo, amarillo o azul, siempre se puede encontrar un trapecio isósceles cuyos vértices sean del mismo color.

Sea $A$ un subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ , y $n$ un entero fijo. Para cualquier primo $p$ que no divide a $n$ , hay infinitos elementos de $A$ no divisibles por $p$ . Demuestre que para cualquier entero $m >1, (m,n) =1$ , existen finitamente muchos elementos de $A$ , tales que su suma es congruente a 1 módulo $m$ y congruente a 0 módulo $n$ .

Dado un entero positivo $n$ y $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n, y_1 \geq y_2 \geq \ldots \geq y_n$ , satisfaciendo $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} ix_i = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} iy_i$ Demuestre que para cualquier número real $\alpha$ , tenemos $\displaystyle\sum_{i =1}^{n} x_i[i\alpha] \geq \displaystyle\sum_{i =1}^{n} y_i[i\alpha]$ Aquí $[\beta]$ denota el mayor entero no mayor que $\beta$.

Dado un entero $n\ge3$ , demuestre que el conjunto $X=\{1,2,3,\ldots,n^2-n\}$ se puede dividir en dos subconjuntos no intersecantes tales que ninguno de ellos contiene $n$ elementos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ con $a_1<a_2<\ldots<a_n$ y $a_k\le\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}2$ para todo $k=2,\ldots,n-1$ .

Suponga que $\triangle ABC$ no es isósceles. $O$ es el circuncentro y $A'$ es un punto en la extensión del segmento $AO$ tal que $\angle BA'A = \angle CA'A$ . Sean los puntos $A_1$ y $A_2$ los pies de la perpendicular desde $A'$ a $AB$ y $AC$. $H_{A}$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ . Denotamos $R_{A}$ como el radio de la circunferencia circunscrita de $\triangle H_{A}A_1A_2$ . Similarmente, podemos definir $R_{B}$ y $R_{C}$ . Demuestre que: $\frac{1}{R_{A}} + \frac{1}{R_{B}} + \frac{1}{R_{C}} = \frac{2}{R}$ donde R es el radio de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$.