Considere el conjunto $I=\{ 1,2, \cdots, 2020 \}$ . Sean $W= \{w(a,b)=(a+b)+ab | a,b \in I \} \cap I$ , $Y=\{y(a,b)=(a+b) \cdot ab | a,b \in I \} \cap I$ sus dos subconjuntos. Además, sea $X= W \cap Y$ . (1) Encuentra la suma de los elementos máximo y mínimo en $X$ . (2) Un elemento $n=y(a,b) (a \le b)$ en $Y$ se llama excelente , si su representación no es única (por ejemplo, $20=y(1,5)=y(2,3)$ ) . Encuentra el número de elementos excelentes en $Y$ . Nota (2) es solo para el grado 11.

Sean $a_1,a_2,\dots, a_{17}$ una permutación de $1,2,\dots, 17$ tal que $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\dots(a_{17}-a_1)=n^{17}$ . Encuentre el máximo valor posible de $n$ .

Dado un polinomio $f(x)=x^{2020}+\sum_{i=0}^{2019} c_ix^i$ , donde $c_i \in \{ -1,0,1 \}$ . Denotemos por $N$ el número de raíces enteras positivas de $f(x)=0$ (contando multiplicidad). Si $f(x)=0$ no tiene raíces enteras negativas, encuentra el máximo de $N$ .

En un triángulo escaleno $\Delta ABC$ , $AB<AC$ , $PB$ y $PC$ son tangentes a la circunferencia circunscrita $(O)$ de $\Delta ABC$ . Un punto $R$ se encuentra en el arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , $PR$ interseca a $(O)$ nuevamente en $Q$ . Suponga que $I$ es el incentro de $\Delta ABC$ , $ID \perp BC$ en $D$ , $QD$ interseca a $(O)$ nuevamente en $G$ . Una línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $AI$ interseca a $AB,AC$ en $M,N$ , respectivamente. Demuestre que, si $AR \parallel BC$ , entonces $A,G,M,N$ son concíclicos.

Sea $f(x)=a(3a+2c)x^2-2b(2a+c)x+b^2+(c+a)^2$ $(a,b,c\in R, a(3a+2c)\neq 0).$ Si $$f(x)\leq 1$$ para cualquier $x$ real, encuentra el máximo de $|ab|.$

El $A$ - excírculo $(O)$ de $\triangle ABC$ toca a $BC$ en $M$. Los puntos $D,E$ se encuentran en los lados $AB,AC$ respectivamente tales que $DE\parallel BC$. El incírculo $(O_1)$ de $\triangle ADE$ toca a $DE$ en $N$. Si $BO_1\cap DO=F$ y $CO_1\cap EO=G$, demuestre que el punto medio de $FG$ se encuentra en $MN$.

Hay $n$ cajas ${B_1},{B_2},\ldots,{B_n}$ de izquierda a derecha, y hay $n$ bolas en estas cajas. Si hay al menos $1$ bola en ${B_1}$, podemos mover una a ${B_2}$. Si hay al menos $1$ bola en ${B_n}$, podemos mover una a ${B_{n - 1}}$. Si hay al menos $2$ bolas en ${B_k}$, $2 \leq k \leq n - 1$ podemos mover una a ${B_{k - 1}}$ y una a ${B_{k + 1}}$. Demuestre que, para cualquier disposición de las $n$ bolas, podemos lograr que cada caja tenga una bola.

¿Existen enteros positivos $m,n$, tales que $m^{20}+11^n$ sea un número cuadrado?

Se da un número real $\alpha \geq 0$. Encuentra el $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$ más pequeño, tal que para cualquier número complejo ${z_1},{z_2}$ y $0 \leq x \leq 1$, si $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, entonces $\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$.

Un torneo de tenis tiene $n>2$ jugadores y cada dos jugadores juegan un juego entre sí (no se permiten empates). Después del juego, estos jugadores pueden ser dispuestos en un círculo, de tal manera que para cualquier tres jugadores $A,B,C$, si $A,B$ son adyacentes en el círculo, entonces al menos uno de $A,B$ ganó contra $C$. Encuentre todos los valores posibles para $n$.