Los reales positivos $a,b,c,d$ satisfacen $abcd=1$. Demuestre que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{9}{{a + b + c + d}} \geqslant \frac{{25}}{4}$.

Las diagonales $AC,BD$ del cuadrilátero $ABCD$ se intersectan en $E$. Sean $M,N$ los puntos medios de $AB,CD$ respectivamente. Sean las bisectrices perpendiculares de los segmentos $AB,CD$ que se encuentran en $F$. Suponga que $EF$ se encuentra con $BC,AD$ en $P,Q$ respectivamente. Si $MF\cdot CD=NF\cdot AB$ y $DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$, demuestre que $PQ\perp BC$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ tiene exactamente $2011$ soluciones enteras positivas $(x,y)$ donde $x \leq y$.

Sean $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ números reales, donde $n\ge 2$, que satisfacen $\sum_{i=1}^{n}x^2_i+ \sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$. Para cada $k$, encuentre el valor máximo de $|x_k|$.

Sea $D$ un punto dentro del triángulo agudo $ABC$ que satisface la condición \n$DA\cdot DB\cdot AB+DB\cdot DC\cdot BC+DC\cdot DA\cdot CA=AB\cdot BC\cdot CA$. \nDetermine (con prueba) la posición geométrica del punto $D$.

Encuentre todos los números naturales $n>3$, tales que $2^{2000}$ es divisible por $1+C^1_n+C^2_n+C^3_n$.

Sea $S=\{1,2,\ldots ,98\}$. Encuentre el menor número natural $n$ tal que podamos elegir $10$ números en cualquier subconjunto de $n$ elementos de $S$ que satisfaga la siguiente condición: no importa cómo dividamos equitativamente los $10$ números en dos grupos, existe un número en un grupo tal que es coprimo con los otros números en ese grupo, mientras tanto también existe un número en el otro grupo tal que no es coprimo con ninguno de los otros números en el mismo grupo.

Dado un entero positivo $n>1$, determine con prueba si existen $2n$ enteros positivos distintos por parejas $a_1,\ldots ,a_n,b_1,\ldots b_n$ tales que $a_1+\ldots +a_n=b_1+\ldots +b_n$ y \n$n-1>\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i-b_i}{a_i+b_i}>n-1-\frac{1}{1998}$.

Sea $ABC$ un triángulo no obtuso que satisface $AB>AC$ y $\angle B=45^{\circ}$. El circuncentro $O$ y el incentro $I$ del triángulo $ABC$ son tales que $\sqrt{2}\ OI=AB-AC$. Encuentre el valor de $\sin A$.

Sea $n$ ($n\ge 3$) un número natural. Denotemos por $f(n)$ el menor número natural por el que $n$ no es divisible (por ejemplo, $f(12)=5$). Si $f(n)\ge 3$, podemos tener $f(f(n))$ de la misma manera. Similarmente, si $f(f(n))\ge 3$, podemos tener $f(f(f(n)))$, y así sucesivamente. Si $\underbrace{f(f(\dots f}_{k\text{ veces}}(n)\dots ))=2$, llamamos a $k$ la 'longitud' de $n$ (también denotamos por $l_n$ la 'longitud' de $n$). Para un número natural arbitrario $n$ ($n\ge 3$), encuentre $l_n$ con prueba.