Sea $m$ un entero donde $|m|\ge 2$ . Sea $a_1,a_2,\cdots$ una secuencia de enteros tal que $a_1,a_2$ no son ambos cero, y para cualquier entero positivo $n$ , $a_{n+2}=a_{n+1}-ma_n$ . Demuestra que si los enteros positivos $r>s\ge 2$ satisfacen $a_r=a_s=a_1$ , entonces $r-s\ge |m|$ .

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ enteros tales que $1=a_1\le a_2\le \cdots\le a_{2019}=99$ . Encuentra el mínimo $f_0$ de la expresión $$f=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{2019}^2)-(a_1a_3+a_2a_4+\cdots+a_{2017}a_{2019}),$$ y determina el número de secuencias $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ tales que $f=f_0$ .

En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . El punto $P$ está en el interior de $\triangle ABC$ tal que $AP$ biseca a $\angle BAC$ . La línea $MP$ intersecta las circunferencias circunscritas de $\triangle ABP,\triangle ACP$ en $D,E$ respectivamente. Demuestra que si $DE=MP$ , entonces $BC=2BP$ .

Para un entero $n\ge 4$, encuentre el entero mínimo $f(n)$, tal que para cualquier entero positivo $m$, en cualquier subconjunto con $f(n)$ elementos del conjunto ${m, m+1, \ldots, m+n+1}$ haya al menos $3$ elementos relativamente primos.

En un sistema de coordenadas rectangulares plano, una secuencia de puntos ${A_n}$ en la mitad positiva del eje y y una secuencia de puntos ${B_n}$ en la curva $y=\sqrt{2x}$ $(x\ge0)$ satisfacen la condición $|OA_n|=|OB_n|=\frac{1}{n}$. La intersección con el eje x de la línea $A_nB_n$ es $a_n$, y la coordenada x del punto $B_n$ es $b_n$, $n\in\mathbb{N}$. Demuestre que (1) $a_n>a_{n+1}>4$, $n\in\mathbb{N}$ ; (2) Existe $n_0\in\mathbb{N}$, tal que para cualquier $n>n_0$, $\frac{b_2}{b_1}+\frac{b_3}{b_2}+\ldots +\frac{b_n}{b_{n-1}}+\frac{b_{n+1}}{b_n}<n-2004$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, el punto $H$ es el punto de intersección de la altura $CE$ a $AB$ y la altura $BD$ a $AC$. Un círculo con $DE$ como su diámetro interseca a $AB$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. $FG$ y $AH$ se intersecan en el punto $K$. Si $BC=25$, $BD=20$ y $BE=7$, encuentre la longitud de $AK$.

Sean $m,n$ números enteros positivos. Demostrar que existen infinitas parejas de números enteros positivos $(a,b)$ tales que $a+b| am^a+bn^b , \quad\gcd(a,b)=1.$

Sean $a_i,b_i,i=1,\cdots,n$ números no negativos, y $n\ge 4$ , tales que $a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0$ . Hallar el máximo de $\frac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}$

Sea $n$ un entero positivo dado, el conjunto $S=\{1,2,\cdots,n\}$ . Para cualquier conjunto no vacío $A$ y $B$ , hallar el mínimo de $|A\Delta S|+|B\Delta S|+|C\Delta S|,$ donde $C=\{a+b|a\in A,b\in B\}, X\Delta Y=X\cup Y-X\cap Y.$

Sea $A$ un conjunto que consta de números reales finitos, $A_1,A_2,\cdots,A_n$ ser conjuntos no vacíos de $A$ , tales que\n(a) La suma de los elementos de $A$ es $0,$\n(b) Para todo $x_i \in A_i(i=1,2,\cdots,n)$ , tenemos $x_1+x_2+\cdots+x_n>0$ . Demostrar que existen $1\le k\le n,$ y $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ , tal que $\n|A_{i_1}\bigcup A_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_k}|<\frac{k}{n}|A|.$\nDonde $|X|$ denota el número de los elementos en el conjunto $X$ .