Dos personas, $A$ y $B$ , juegan al juego de inflar un globo. El globo explotará solo cuando el volumen del globo $V>2014$ mL. $A$ sopla $1$ mL primero, y luego se turnan para soplar. Se acuerda que el gas soplado por cada persona no debe ser menor que el gas soplado por la otra parte la última vez y no debe ser más del doble de la cantidad de gas que la otra parte sopló la última vez. El acuerdo es que la persona que explota el globo pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora? Explícalo brevemente. (No considere el cambio en el volumen causado por el cambio en la tensión cuando el globo se infla).

Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $3^n+2$ y $5^n+2$ son todos números compuestos.

Sean $x,y,z,w $ números reales tales que $x+2y+3z+4w=1$ . Encuentra el mínimo de $x^2+y^2+z^2+w^2+(x+y+z+w)^2$ .

Como se muestra en la figura, en el paralelogramo $ABCD$ , $I$ es el incentro de $\vartriangle BCD$ , y $H$ es el ortocentro de $\vartriangle IBD$ . Demuestra que $\angle HAB=\angle HAD$ .

En una elección, hay un total de $12$ candidatos. Un comité electoral tiene $6$ miembros votantes. Se sabe que a lo sumo dos candidatos votados por dos miembros del comité son los mismos. Encuentra el número máximo de miembros del comité.

Determina si existe un número infinito de enteros positivos $x,y $ que satisfacen la condición: $x^2+y \mid x+y^2.$ Por favor, demuéstralo.

Define una sucesión de números positivos $\{a_n\}$ como \[a_{1}=1,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}.\] Demuestra que \[\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}\]

Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $\angle B$ , $\angle C$ ángulos agudos, $AD \perp BC$ , $DE \perp AC$ , $M$ punto medio de $DE$ , $AM \perp BE$ . Demuestra que $\vartriangle ABC$ es isósceles.

Sean $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ números reales positivos $(n \geq 2)$, no todos iguales, tales que $\sum_{k=1}^n a_{k}^{-2n}=1$, pruebe que: $\sum_{k=1}^n a_{k}^{2n}-n^2.\sum_{1 \leq i<j \leq n}(\frac{a_{i}}{a_{j}}-\frac{a_{j}}{a_{i}})^2 >n^2$

Sea $S$ un conjunto finito. $f$ es una función definida en el subconjunto-grupo $2^S$ del conjunto $S$. Se dice que $f$ es $\textsl{monótonamente decreciente}$ si cuando $X \subseteq Y\subseteq S$, entonces $f(X) \geq f(Y)$ se cumple. Pruebe que: $f(X \cup Y)+f(X \cap Y ) \leq f(X)+ f(Y)$ para $X, Y \subseteq S$ si y solo si $g(X)=f(X \cup \{ a \}) - f(X)$ es una función $\textsl{monótonamente decreciente}$ en el subconjunto-grupo $2^{S \setminus \{a\}}$ del conjunto $S \setminus \{a\}$ para cualquier $a \in S$.