El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $O$. Se dibuja la tangente $PD$ desde $A$, $D$ está en el rayo $BC$, $P$ está en el rayo $DA$. La línea $PU$ ($U \in BD$) intersecta el círculo $O$ en $Q$, $T$, e intersecta $AB$ y $AC$ en $R$ y $S$ respectivamente. Pruebe que si $QR=ST$, entonces $PQ=UT$.

Dado $S$ sea el conjunto reticular finito (con coordenada entera) en el plano $xy$. $A$ es el subconjunto de $S$ con más elementos tal que la línea que conecta dos puntos cualesquiera en $A$ no es paralela al eje $x$ o al eje $y$. $B$ es el subconjunto de enteros con menos elementos tal que para cualquier $(x,y)\in S$, $x \in B$ o $y \in B$ se cumple. Pruebe que $|A| \geq |B|$.

Dado un entero $a_1$ ($a_1 \neq -1$), encuentre una secuencia de números reales $\{ a_n \}$ ($a_i \neq 0, i=1,2,\cdots,5$) tal que $x_1,x_2,\cdots,x_5$ y $y_1,y_2,\cdots,y_5$ satisfacen $b_{i1}x_1+b_{i2}x_2+\cdots +b_{i5}x_5=2y_i$, $i=1,2,3,4,5$, entonces $x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_5y_5=0$, donde $b_{ij}=\prod_{1 \leq k \leq i} (1+ja_k)$.

Hay $n$ ($n\geq 3$) círculos en el plano, todos con radio $1$. Entre cada tres círculos, al menos dos tienen puntos en común, entonces el área total cubierta por estos $n$ círculos es menor que $35$.

(1) $D$ es un punto arbitrario en $\triangle{ABC}$. Pruebe que:\n\[\n\frac{BC}{\min\{AD,BD,CD\}} \geq \{\n\begin{array}{c}\n\displaystyle 2\sin{A}, \ \angle{A}< 90^o \\ \\ 2, \ \angle{A} \geq 90^o\n\end{array}\n\}\n\]\n(2 ) $E$ es un punto arbitrario en el cuadrilátero convexo $ABCD$. Denote $k$ la razón de las distancias más grande y más pequeña de dos puntos cualesquiera entre $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Pruebe que $k \geq 2\sin{70^o}$. ¿Se puede lograr la igualdad?

El entero positivo $n$ no puede ser dividido por $2$ y $3$, no existen enteros no negativos $a$ y $b$ tales que $|2^a-3^b|=n$. Encuentre el valor mínimo de $n$.

Sea $g(x)= \sum_{k=1}^{n} a_k \cos{kx}$, $a_1,a_2, \cdots, a_n, x \in R$. Si $g(x) \geq -1$ se cumple para todo $x \in R$, pruebe que $\sum_{k=1}^{n}a_k \leq n$.

La secuencia $\{ a_n \}$ satisface: $a_1=3$, $a_2=7$, $a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1}$, $n \geq 2$. Si $a_n+(-1)^n$ es primo, pruebe que existe un entero no negativo $m$ tal que $n=3^m$.

Denotemos por $\left(ABC\right)$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $AB=AC=1$ y $\measuredangle CAB=90^{\circ}$. Sea $D$ el punto medio del lado $BC$, y sean $E$ y $F$ dos puntos en el lado $BC$. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias $\left(ADE\right)$ y $\left(ABF\right)$ (aparte de $A$). Sea $N$ el punto de intersección de la línea $AF$ y la circunferencia $\left(ACE\right)$ (aparte de $A$). Sea $P$ el punto de intersección de la línea $AD$ y la circunferencia $\left(AMN\right)$. Encuentre la longitud de $AP$.

Sea $S$ el conjunto de puntos dentro y en la frontera de un hexágono regular con lado de longitud 1. Encuentre la menor constante $r$, tal que exista una forma de colorear todos los puntos en $S$ con tres colores de modo que la distancia entre dos puntos con el mismo color sea menor que $r$.