Encuentre todas las ternas $(p,q,r)$ de primos tales que $pq=r+1$ y $2(p^2+q^2)=r^2+1$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Un punto $D$ está en el arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$. Un punto $E$ está en el arco $AC$ de $\Gamma$ que no contiene a $B$. Si $AD=CE$ pruebe que $BE$ es paralelo a $AD$.

Encuentre todas las funciones con valores reales $f$ en los reales tales que $f(-x) = -f(x)$ , $f(x+1) = f(x) + 1$ para todo $x$ , y $f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{f(x)}{x^2}$ para $x \not = 0$.

Un círculo pasa por el vértice de un rectángulo $ABCD$ y toca sus lados $AB$ y $AD$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si la distancia desde $C$ al segmento de línea $MN$ es igual a $5$ unidades, encuentre el área del rectángulo $ABCD$.

Encuentre el número de triángulos no degenerados cuyos vértices se encuentran en el conjunto de puntos $(s,t)$ en el plano tales que $0 \leq s \leq 4$ , $0 \leq t \leq 4$ , $s$ y $t$ son enteros.

En cualquier conjunto de $181$ enteros cuadrados, demuestre que siempre se puede encontrar un subconjunto de $19$ números, la suma de cuyos elementos es divisible por $19$.

Si $x^5 - x ^3 + x = a,$ demuestre que $x^6 \geq 2a - 1$.

Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ en el que el ángulo en $C$ es obtuso y $AD$ y $CF$ son las medianas desde $A$ y $C$ respectivamente sobre los lados $BC$ y $AB$. Si los puntos $B, D, G$ y $F$ son concíclicos, demuestre que $\dfrac{AC}{BC} \geq \sqrt{2}$. Si además $P$ es un punto en la línea $BG$ extendida tal que $AGCP$ es un paralelogramo, demuestre que los triángulos $ABC$ y $GAP$ son similares.

Los $64$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ se llenan con enteros positivos de tal manera que cada entero es el promedio de los enteros en los cuadrados vecinos. Demuestra que, de hecho, todas las $64$ entradas son iguales.

Demuestra que $n^4 + 4^{n}$ es compuesto para todos los valores de $n$ mayores que $1$ .