Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ a^3 + b^3 = c^3$ . Demuestre que: $ a^2 + b^2 - c^2 > 6(c - a)(c - b)$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo y sea $ H$ su ortocentro. Sea $ h_{max}$ la altitud más grande del triángulo $ ABC$ . Demuestre que: $AH + BH + CH\leq2h_{max}$

Todos los puntos en el plano están coloreados usando tres colores. Demuestre que existe un triángulo con vértices que tienen el mismo color tal que o es isósceles o sus ángulos están en progresión geométrica.

Encuentre todos los números reales $ x$ tales que: $ [x^2+2x]={[x]}^2+2[x]$ (Aquí $ [x]$ denota el entero más grande que no excede a $ x$ .)

Defina una secuencia $ {<{a_n}>}^{\infty}_{n=1}$ como sigue $ a_n=0$ , si el número de divisores positivos de $ n$ es impar $ a_n=1$ , si el número de divisores positivos de $ n$ es par (Los divisores positivos de $ n$ incluyen $ 1$ así como $ n$ .) Sea $ x=0.a_1a_2a_3........$ el número real cuya expansión decimal contiene $ a_n$ en el lugar $ n$ - ésimo , $ n\geq1$ . Determine, con prueba, si $ x$ es racional o irracional.

Sea $ ABC$ un triángulo y sea $ P$ un punto interior tal que $ \angle BPC = 90 ,\angle BAP = \angle BCP$ . Sean $ M,N$ los puntos medios de $ AC,BC$ respectivamente. Suponga que $ BP = 2PM$ . Demuestre que $ A,P,N$ son colineales.

Sean $P(x)=x^3+ax^2+b$ y $Q(x)=x^3+bx+a$, donde $a$ y $b$ son números reales no nulos. Suponga que las raíces de la ecuación $P(x)=0$ son los recíprocos de las raíces de la ecuación $Q(x)=0$. Pruebe que $a$ y $b$ son enteros. Encuentre el máximo común divisor de $P(2013!+1)$ y $Q(2013!+1)$.

Sean $a_1,b_1,c_1$ números naturales. Definimos \[a_2=\gcd(b_1,c_1),\,\,\,\,\,\,\,\,b_2=\gcd(c_1,a_1),\,\,\,\,\,\,\,\,c_2=\gcd(a_1,b_1),\] y \[a_3=\operatorname{lcm}(b_2,c_2),\,\,\,\,\,\,\,\,b_3=\operatorname{lcm}(c_2,a_2),\,\,\,\,\,\,\,\,c_3=\operatorname{lcm}(a_2,b_2).\] Muestre que $\gcd(b_3,c_3)=a_2$.

En un triángulo $ABC$, los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $BC$ y $AC$ tales que $BD=3DC$ y $AE=4EC$. El punto $P$ está en la línea $ED$ tal que $D$ es el punto medio del segmento $EP$. Las líneas $AP$ y $BC$ se intersecan en el punto $S$. Encuentre la razón $BS/SD$.

Un conjunto finito no vacío de enteros se llama $3$ - bueno si la suma de sus elementos es divisible por $3$. Encuentre el número de subconjuntos $3$ - buenos de $\{0,1,2,\ldots,9\}$.