Sea $ (x_1,x_2,\cdots)$ una sucesión de números positivos tal que $ (8x_2 - 7x_1)x_1^7 = 8$ y \[ x_{k + 1}x_{k - 1} - x_k^2 = \frac {x_{k - 1}^8 - x_k^8}{x_k^7x_{k - 1}^7} \text{ para }k = 2,3,\ldots\] Determine el número real $ a$ tal que si $ x_1 > a$ , entonces la secuencia es monótonamente decreciente, y si $ 0 < x_1 < a$ , entonces la secuencia no es monótona.

En el cuadrilátero convexo $ ABCD$ , $ AB = BC$ y $ AD = DC$ . El punto $ E$ está en el segmento $ AB$ y el punto $ F$ está en el segmento $ AD$ tal que $ B$ , $ E$ , $ F$ , $ D$ están en un círculo. El punto $ P$ es tal que los triángulos $ DPE$ y $ ADC$ son similares y los vértices correspondientes están en la misma orientación (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario). El punto $ Q$ es tal que los triángulos $ BQF$ y $ ABC$ son similares y los vértices correspondientes están en la misma orientación. Pruebe que los puntos $ A$ , $ P$ , $ Q$ son colineales.

Se construyen triángulos equiláteros $ ABQ$ , $ BCR$ , $ CDS$ , $ DAP$ fuera del cuadrilátero convexo $ ABCD$ . Sean $ X$ , $ Y$ , $ Z$ , $ W$ los puntos medios de los segmentos $ PQ$ , $ QR$ , $ RS$ , $ SP$ , respectivamente. Determine el valor máximo de \[ \frac {XZ+YW}{AC + BD}.\]

Determine el menor número real $ a$ mayor que $ 1$ tal que para cualquier punto $ P$ en el interior del cuadrado $ ABCD$ , la razón del área entre dos de los triángulos $ PAB$ , $ PBC$ , $ PCD$ , $ PDA$ se encuentra en el intervalo $ \left[\frac {1}{a},a\right]$ .

Sea $ \varphi(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ un polinomio con coeficientes reales. Dado que $ \varphi(x)$ tiene tres raíces reales positivas y que $ \varphi(0) < 0$ , pruebe que \[ 2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0.\]

(a) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,96\}$ puede ser particionado en 32 conjuntos de igual tamaño e igual suma. (b) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,99\}$ puede ser particionado en 33 conjuntos de igual tamaño e igual suma.

Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ con la siguiente propiedad: si cada celda de una cuadrícula de $100\times 100$ se tiñe con un color y el número de celdas de cada color no es mayor que $104$ , entonces hay un rectángulo de $k\times1$ o $1\times k$ que contiene celdas de al menos tres colores diferentes.

Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_{100}$ enteros no negativos tales que $(1)$ Existen enteros positivos $ k\leq 100$ tales que $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_{k}$ y $a_i=0$ $(i>k);$ $(2)$ $ a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{100}=100;$ $(3)$ $ a_1+2a_2+3a_3+\cdots +100a_{100}=2022.$ Encuentre el mínimo de $ a_1+2^2a_2+3^2a_3+\cdots +100^2a_{100}.$

El entero $n$ tiene $k$ factores primos diferentes. Pruebe que $\sigma (n) \mid (2n-k)!$

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$ . Se elige un punto $P$ de la diagonal $BD$ tal que $\angle APB = 2\angle CPD$ , se eligen puntos $X$ , $Y$ del segmento $AP$ tales que $\angle AXB = 2\angle ADB$ , $\angle AYD = 2\angle ABD$ . Pruebe que: $BD = 2XY$ .