Suponga que un triángulo acutángulo escaleno $ABC$ tiene incentro $I$ y el incírculo tocando $BC$ en $D$. Sea $Z$ el antípoda de $A$ en el circuncírculo de $ABC$. El punto $L$ se elige en la bisectriz interna del ángulo $\angle BZC$ tal que $AL = LI$. Sea $M$ el punto medio del arco $BZC$, y sea $V$ el punto medio de $ID$. Pruebe que $\angle IML = \angle DVM$

En el triángulo $ABC$, con ortocentro $H$ y circuncírculo $\Gamma$, la bisectriz del ángulo $BAC$ se encuentra con $\overline{BC}$ en $K$. El punto $Q$ se encuentra en $\Gamma$ tal que $\overline{AQ} \perp \overline{QK}$. El circuncírculo de $\triangle AQH$ se encuentra con $\overline{AC}$ en $Y$ y $\overline{AB}$ en $Z$. Sean $\overline{BY}$ y $\overline{CZ}$ se encuentran en $T$. Pruebe que $\overline{TH} \perp \overline{KA}$

En una escuela, cada par de estudiantes son o amigos o extraños. La amistad es mutua, y ningún estudiante es amigo de sí mismo. Una secuencia de estudiantes (no necesariamente distintos) $A_1, A_2, \dots, A_{2023}$ es llamada traviesa si $\bullet$ El número total de amigos de $A_1$ es impar. $\bullet$ $A_i$ y $A_{i+1}$ son amigos para $i=1, 2, \dots, 2022$ . $\bullet$ El número total de amigos de $A_{2023}$ es par. Demuestre que el número total de secuencias traviesas es par.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que $f(x) + y$ y $f(y) + x$ tienen el mismo número de $1$'s en sus representaciones binarias, para cualquier $x,y \in \mathbb{N}$.

Lucy comienza escribiendo $s$ -tuplas de enteros con valor $2022$ en una pizarra. Después de hacer eso, ella puede tomar cualesquiera dos (no necesariamente distintas) tuplas $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ella ya ha escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla: \begin{align*} \mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\ \mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022})) \end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier -tupla de enteros con valor $2022$ en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el número $s$ más pequeño posible de tuplas que ella inicialmente escribió?

En el triángulo $ABC$, sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a la recta $BC$. El punto $K$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle KAB = \angle KCA$ y $\angle KAC = \angle KBA$. La línea que pasa por $K$ perpendicular a la recta $DK$ se encuentra con el círculo con diámetro $BC$ en los puntos $X,Y$. Pruebe que $AX \cdot DY = DX \cdot AY$

Sea $\mathbb{Z}_{\ge 0}$ el conjunto de enteros no negativos y $\mathbb{R}^+$ el conjunto de números reales positivos. Sea $f: \mathbb{Z}_{\ge 0}^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ una función tal que $f(0, k) = 2^k$ y $f(k, 0) = 1$ para todo entero $k \ge 0$, y $$f(m, n) = \frac{2f(m-1, n) \cdot f(m, n-1)}{f(m-1, n)+f(m, n-1)}$$ para todo entero $m, n \ge 1$. Pruebe que $f(99, 99)<1.99$.

Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$. ¿Podría ser el caso que, para todos los enteros positivos $k$, $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función biyectiva y suponga que $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es una función tal que: Para todo natural $x$, $$\underbrace{f(\cdots (f}_{x^{2023}\;f\text{'s}}(x)))=x. $$ Para todo natural $x,y$ tal que $x|y$, tenemos $f(x)|g(y)$. Demuestre que $f(x)=x$.

En el país ficticio de Mahishmati, hay $50$ ciudades, incluyendo una ciudad capital. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos de dos vías. Dada una ciudad $A$, una lista ordenada de ciudades $C_1,\ldots, C_{50}$ se llama un antitour desde $A$ si cada ciudad (incluyendo $A$) aparece en la lista exactamente una vez, y para cada $k\in \{1,2,\ldots, 50\}$, es imposible ir desde $A$ a $C_k$ por una secuencia de exactamente $k$ (no necesariamente distintos) vuelos. Baahubali nota que hay un antitour desde $A$ para cualquier ciudad $A$. Además, él puede tomar una secuencia de vuelos, comenzando desde la capital y pasando a través de cada ciudad exactamente una vez. Encuentra el mínimo número total posible de antitours desde la ciudad capital.