El círculo $\omega$ toca el círculo $\Omega$ internamente en el punto $P.$ El centro $O$ de $\Omega$ está fuera de $\omega.$ Sea $XY$ un diámetro de $\Omega$ que también es tangente a $\omega.$ Asuma que $PY>PX.$ Sea $PY$ interseca a $\omega$ en $z.$ Si $YZ=2PZ,$ ¿cuál es la magnitud de $\angle{PYX}$ en grados $?$

Los dígitos de un entero positivo $n$ son cuatro enteros consecutivos en orden decreciente cuando se leen de izquierda a derecha. ¿Cuál es la suma de los posibles residuos cuando $n$ se divide por $37 ?$

Un subconjunto $B$ del conjunto de los primeros $100$ enteros positivos tiene la propiedad de que ningún par de elementos de $B$ suman $125.$ ¿Cuál es el máximo número posible de elementos en $B ?$

Sean $a,$ $b,$ y $c.$ tales que $a+b+c=0$ y $$P=\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}$$ está definida. ¿Cuál es el valor de $P ?$

En un triángulo acutángulo $ABC,$ sea $D$ el pie de la altura desde $A,$ y $E$ el punto medio de $BC.$ Sea $F$ el punto medio de $AC.$ Suponga que $\angle{BAE}=40^o. $ Si $\angle{DAE}=\angle{DFE},$ ¿Cuál es la magnitud de $\angle{ADF}$ en grados $?$

Sea $n$ el entero más grande que es el producto de exactamente $3$ números primos distintos, $x,y,$ y $10x+y,$ donde $x$ e $y$ son dígitos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n ?$

Si $3^x+2^y=985.$ y $3^x-2^y=473.$ ¿Cuál es el valor de $xy ?$

En una fiesta, cada hombre bailó con exactamente cuatro mujeres y cada mujer bailó con exactamente tres hombres. Nueve hombres asistieron a la fiesta. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta $?$

En un rectángulo $ABCD$ $AB=8$ y $BC=20.$ Sea $P$ un punto en $AD$ tal que $\angle{BPC}=90^o.$ Si $r_1,r_2,r_3.$ son los radios de los incírculos de los triángulos $APB,$ $BPC,$ y $CPD.$ ¿cuál es el valor de $r_1+r_2+r_3 ?$

Sean $a,$ $b,$ y $c$ números reales tales que $a-7b+8c=4.$ y $8a+4b-c=7.$ ¿Cuál es el valor de $a^2-b^2+c^2 ?$