Sea $E$ denote el conjunto de $25$ puntos $(m,n)$ en el plano $\text{xy}$ , donde $m,n$ son números naturales, $1\leq m\leq5,1\leq n\leq5$ . Suponga que los puntos de $E$ son coloreados arbitrariamente usando dos colores, rojo y azul. Muestre que siempre existen cuatro puntos en el conjunto $E$ de la forma $(a,b),(a+k,b),(a+k,b+k),(a,b+k)$ para algún entero positivo $k$ tal que al menos tres de estos cuatro puntos tienen el mismo color. (Es decir, siempre existen cuatro puntos en el conjunto $E$ que forman los vértices de un cuadrado con lados paralelos a los ejes y teniendo al menos tres puntos del mismo color.)

Para un número racional $r$ , su *periodo* es la longitud del bloque repetido más pequeño en su expansión decimal. Por ejemplo, el número $r=0.123123123...$ tiene periodo $3$ . Si $S$ denota el conjunto de todos los números racionales de la forma $r=\overline{abcdefgh}$ que tienen periodo $8$ , encuentre la suma de todos los elementos en $S$ .

Sea $n$ un número natural. Encuentre todos los números reales $x$ que satisfacen la ecuación $$\sum^n_{k=1}\frac{kx^k}{1+x^{2k}}=\frac{n(n+1)}4.$$

Sea $ABC$ un triángulo con lados enteros en el que $AB<AC$ . Sea la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ que intersecta a la línea $BC$ en $D$ . Suponga que $AD$ también es un entero. Demuestre que $\gcd(AB,AC)>1$ .

Sea $n\ge 1$ un entero y considere la suma $$x=\sum_{k\ge 0} \dbinom{n}{2k} 2^{n-2k}3^k=\dbinom{n}{0}2^n+\dbinom{n}{2}2^{n-2}\cdot{}3+\dbinom{n}{4}2^{n-k}\cdot{}3^2 + \cdots{}.$$ Demuestre que $2x-1,2x,2x+1$ forman los lados de un triángulo cuya área e inradio también son enteros.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{A}=90^{\circ}$ y $AB<AC$. Sea $AD$ la altura desde $A$ a $BC$. Sean $P,Q$ e $I$ denotan respectivamente los incentros de los triángulos $ABD,ACD$ y $ABC$. Demuestre que $AI$ es perpendicular a $PQ$ y $AI=PQ$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo en el que $\angle{A}=\angle{B}=\angle{C}=\angle{D}=120^{\circ}$ y las longitudes de los lados son cinco enteros consecutivos en algún orden. Encuentre todos los valores posibles de $AB+BC+CD$.

Encuentra el número de triples $(x,a,b)$ donde $x$ es un número real y $a,b$ pertenecen al conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ tal que $$x^2-a\{x\}+b=0.$$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria del número real $x$.

Suponga que $n \ge 0$ es un entero y todas las raíces de $x^3 + \alpha x + 4 - ( 2 \times 2016^n) = 0$ son enteros. Encuentre todos los valores posibles de $\alpha$.

En la figura dada, $ABCD$ es una hoja de papel cuadrada. Se dobla a lo largo de $EF$ de tal manera que $A$ va a un punto $A'$ diferente de $B$ y $C$, en el lado $BC$ y $D$ va a $D'$. La línea $A'D'$ corta a $CD$ en $G$. Demuestra que el inradio del triángulo $GCA'$ es la suma de los inradios de los triángulos $GD'F$ y $A'BE$. [asy]\nsize(5cm);\npair A=(0,0),B=(1,0),C=(1,1),D=(0,1),Ap=(1,0.333),Dp,Ee,F,G;\nEe=extension(A,B,(A+Ap)/2,bisectorpoint(A,Ap));\nF=extension(C,D,(A+Ap)/2,bisectorpoint(A,Ap));\nDp=reflect(Ee,F)*D;\nG=extension(C,D,Ap,Dp);\nD(MP('A',A,W)--MP('E',Ee,S)--MP('B',B,E)--MP('A^{\prime}',Ap,E)--MP('C',C,E)--MP('G',G,NE)--MP('D^{\prime}',Dp,N)--MP('F',F,NNW)--MP('D',D,W)--cycle,black);\ndraw(Ee--Ap--G--F);\ndot(A);dot(B);dot(C);dot(D);dot(Ap);dot(Dp);dot(Ee);dot(F);dot(G);\ndraw(Ee--F,dashed);\n[/asy]