Cinco estudiantes toman un examen en el que cualquier puntaje entero de $0$ a $100$ inclusive es posible. ¿Cuál es la mayor diferencia posible entre la mediana y la media de los puntajes? (La mediana de un conjunto de puntajes es el puntaje del medio cuando los datos se organizan en orden creciente. Es exactamente el puntaje del medio cuando hay un número impar de puntajes y es el promedio de los dos puntajes del medio cuando hay un número par de puntajes).

Sea A $BC$ un triángulo con $AB = 5, AC = 4, BC = 6$ . La bisectriz interna del ángulo $C$ intersecta el lado $AB$ en $D$ . Los puntos $M$ y $N$ se toman en los lados $BC$ y $AC$ , respectivamente, tales que $DM\parallel AC$ y $DN \parallel BC$ . Si $(MN)^2 =\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos, ¿cuál es la suma de los dígitos de $|p - q|$ ?

Un número de $5$ dígitos (en base $10$ ) tiene dígitos $k, k + 1, k + 2, 3k, k + 3$ en ese orden, de izquierda a derecha. Si este número es $m^2$ para algún número natural $m$ , hallar la suma de los dígitos de $m$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $BD= 48 \frac{1}{61}$ y $DC=61$ . Sea $E$ un punto en $AD$ tal que $CE$ es perpendicular a $AD$ y $DE=11$ . Hallar $AE$ .

¿Cuál es el menor entero positivo por el cual $2^5 \cdot 3^6 \cdot 4^3 \cdot 5^3 \cdot 6^7$ debe multiplicarse para que el producto sea un cuadrado perfecto?

Hallar el número de soluciones enteras a $||x| - 2020| < 5$ .

Sea $ABCD$ un rectángulo en el que $AB + BC + CD = 20$ y $AE = 9$ donde $E$ es el punto medio del lado $BC$ . Hallar el área del rectángulo.

Si $\sum_{k=1}^{N} \frac{2k+1}{(k^2+k)^2}= 0.9999$ entonces determine el valor de $N$ .

Un número $N$ está en base 10, $503$ en base $b$ y $305$ en base $b+2$ . Hallar el producto de los dígitos de $N$.

Sea $ABCD$ un trapecio en el que $AB \parallel CD$ y $AB = 3CD$ . Sea $E$ el punto medio de la diagonal $BD$ . Si $[ABCD] = n \times [CDE]$ , ¿cuál es el valor de $n$? (Aquí $[t]$ denota el área de la figura geométrica $t$ .)