Encuentre todos los valores reales de $a$ tales que $x^4 - 2ax^2 + x + a^2 -a = 0$ tenga todas sus raíces reales.

(i) Considere dos enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^a b^b$ es divisible por $2000$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $ab$? (ii) Considere dos enteros positivos $a$ y $b$ tales que $a^b b^a$ es divisible por $2000$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $ab$?

La bisectriz interna del ángulo $A$ en un triángulo $ABC$ con $AC > AB$ se encuentra con la circunferencia circunscrita $\Gamma$ del triángulo en $D$. Una $D$ al centro $O$ del círculo $\Gamma$ y suponga que $DO$ se encuentra con $AC$ en $E$, posiblemente cuando se extiende. Dado que $BE$ es perpendicular a $AD$, demuestre que $AO$ es paralelo a $BD$.

Todos los números de $7$ dígitos que contienen cada uno de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7$ exactamente una vez, y no divisibles por $5$ están ordenados de forma creciente. Encuentre el número $200$ en la lista.

Suponga que $\{ x_n \}_{n\geq 1}$ es una secuencia de números reales positivos tales que $x_1 \geq x_2 \geq x_3 \ldots \geq x_n \ldots$, y para todo $n$ \[ \frac{x_1}{1} + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \ldots + \frac{x_{n^2}}{n} \leq 1 . \] Demuestre que para todo $k$ \[ \frac{x_1}{1} + \frac{x_2}{2} +\ldots + \frac{x_k}{k} \leq 3. \]

Resuelva la ecuación $y^3 = x^3 + 8x^2 - 6x +8$, para enteros positivos $x$ e $y$.

Sea $AC$ un segmento de línea en el plano y $B$ un punto entre $A$ y $C$. Construya triángulos isósceles $PAB$ y $QAC$ en un lado del segmento $AC$ tales que $\angle APB = \angle BQC = 120^{\circ}$ y un triángulo isósceles $RAC$ en el otro lado de $AC$ tal que $\angle ARC = 120^{\circ}$. Demuestre que $PQR$ es un triángulo equilátero.

Hay dos espejos planos semi-infinitos inclinados físicamente en un ángulo no nulo con las superficies internas siendo reflectantes. Pruebe que todas las líneas de rayos incidentes/reflejados son tangenciales a un círculo en particular para cualquier rayo incidente dado que incide en un lado reflectante. Suponga que el rayo incidente se encuentra en uno de los planos normales a los espejos. Intente adivinar el radio del círculo por los parámetros que pueda observar.

Un marco tetraédrico regular sin masa cuya longitud lateral es físicamente variable (con la restricción de que el tetraedro sea regular) se sumerge en una solución de jabón de tensión superficial $T$ , se saca y se deja asentar después de un pequeño movimiento. La película de jabón se forma de tal manera que no hay volumen en el espacio que esté encerrado por ninguna de las superficies de la película de jabón y todas las superficies de la película de jabón son planas. Puede asumir la configuración de la película de jabón sin prueba. Ahora 4 cargas puntuales de carga $q$ se fijan en los vértices del tetraedro. El sistema ahora se pone en movimiento con la forma y la naturaleza de la película de jabón sin alterarse en todo momento. Describa la forma de la película de jabón que observa y sus especulaciones sobre por qué se forma de esta manera. También muestre que el área abarcada por la película de jabón es menor que el área total de la superficie del tetraedro. Encuentre la longitud lateral del tetraedro para la cual el sistema alcanza el equilibrio mecánico.

Un circuito eléctrico tiene una batería de FEM $E$ y está conectado a un sistema de resistencias como se muestra en la imagen a continuación. El sistema de resistencias solo se coloca en una caja adiabática (con el circuito aún conectado) llena de gas ideal y que contiene una placa térmicamente conductora (placa que se muestra a continuación) con un coeficiente de expansión térmica de área $\beta$ y capacidad calorífica $c$ . $R_2,R_5,R_3$ son fijos y $R_1,R_4$ son variables. Asuma que el cambio de temperatura no altera ninguno de los atributos macroscópicamente notables del cable y las resistencias. Encuentre la condición en las resistencias (todas distintas de cero) para las cuales la tasa de expansión térmica alcanza el máximo. Encuentre la resistencia equivalente en tal condición descrita anteriormente. Dibuje cómo se verá la placa después de un tiempo $t$ y describa su tamaño cualitativamente.(Solo importa la forma al dibujar).