¿La ley de la gravitación de Newton a partir de las leyes de Kepler? Los planetas en el sistema solar se mueven en órbitas elípticas con el sol en uno de los focos. La línea que une el sol y el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. El período de revolución ( $T$ ) y la longitud del semieje mayor $(a$ ) de la elipse se encuentran en la relación $T^2/a^3 = constante$ . Ahora responda las siguientes preguntas: \n* Partiendo de la ley de la gravitación de Newton y la primera ley de Kepler, derive la segunda y la tercera ley. Es posible derivar la primera ley, pero eso está fuera del alcance de este examen. Para su conveniencia, trabaje en el plano complejo (Argand) y tome el sol como el origen $(z=0)$ . \n* Muestre que los puntos en la elipse pueden representarse mediante, \n\[ z(\theta) = \frac{a(1-\epsilon^2)}{1+\epsilon\cos\theta}\exp(i\theta) = r(\theta) e^{i\theta}\] \ndonde $a$ es la longitud del semieje mayor, $\epsilon$ es la excentricidad de la elipse y $\theta$ se llama la \emph{anomalía verdadera} en la mecánica celeste. \n* Muestre que la segunda ley de Kepler conduce a, \n\[ \frac{1}{2}r^2 \dot{\theta} = constante\] \ndonde $r$ y $\theta$ se definen como en la parte (b) y un punto $(.)$ sobre una variable denota su derivada temporal. ¿Cuál es esta constante en términos de las otras variables del problema? \n* Usando los resultados de las partes (b) y (c) junto con la tercera ley de Kepler, obtenga la ley de la gravitación de Newton. \n* ¿Se puede llamar realmente al ejercicio anterior una 'derivación' de la ley de la gravitación de Newton? Declare sus razones.

Un marco tetraédrico regular sin masa cuya longitud lateral es físicamente variable (con la restricción de que el tetraedro sea regular) se sumerge en una solución de jabón de tensión superficial $T$ , se saca y se deja asentar después de un pequeño movimiento. La película de jabón se forma de tal manera que no hay volumen en el espacio que esté encerrado por ninguna de las superficies de la película de jabón y todas las superficies de la película de jabón son planas. Puede asumir la configuración de la película de jabón sin prueba. Ahora 4 cargas puntuales de carga $q$ se fijan en los vértices del tetraedro. El sistema ahora se pone en movimiento con la forma y la naturaleza de la película de jabón sin alterarse en todo momento. Encuentre la longitud lateral del tetraedro para la cual el sistema alcanza el equilibrio mecánico. Encuentre la(s) ecuación(es) diferencial(es) que rigen la longitud lateral con respecto al tiempo. Si la amplitud de las oscilaciones es muy pequeña, encuentre el período de las oscilaciones.

Hay dos espejos planos semi-infinitos inclinados físicamente en un ángulo no nulo con las superficies internas siendo reflectantes. Pruebe que todas las líneas de rayos incidentes/reflejados son tangenciales a un círculo en particular para cualquier rayo incidente dado que incide en un lado reflectante. Suponga que el rayo incidente se encuentra en uno de los planos normales a los espejos. Hay un cono de una base arbitraria con una longitud suficientemente grande. La superficie interna pulida (la superficie externa es absorbente por naturaleza) y el vértice está fijo a un punto. El cono se gira alrededor del vértice a una velocidad angular $\omega$ alrededor del eje vertical y asuma que una gran parte del interior es visible horizontalmente. Se proyecta un rayo horizontal fijo desde el exterior hacia el cono (que a menudo cae dentro de él), pruebe que todas las líneas de rayo incidente/rayos reflejados en todos los instantes se encuentran tangenciales a una esfera en particular. Intente adivinar el radio de la esfera con los parámetros que observe.

¿Distribución de probabilidad clásica para estados cuánticos? El objetivo de este problema es tratar de imitar un enfoque de mecánica estadística a la mecánica cuántica. En la mecánica estadística clásica, uno tiene la fórmula habitual de Gibbs-Boltzmann que da la distribución de probabilidad en el espacio de fase a ser: \n\[ \rho(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) \sim \exp(-\beta H(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n))\] \ndonde $H$ es el Hamiltoniano del sistema. ¿Por qué no podemos exigir una distribución de probabilidad similar sobre el espacio de fase en la mecánica cuántica? Si se da la función de onda $\psi(x_1,\dots,x_n)$ , construimos la siguiente expresión: \n\begin{align*} \n\begin{split} \n& P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) \\ \n& = \left(\frac{1}{\pi\hbar}\right)^n \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} dy_1\dots dy_n \psi^*(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n) \\ \n& \times \psi(x_1-y_1,\dots,x_n-y_n) \exp\left(\frac{2i}{\hbar}(p_1y_1+\dots+p_ny_n)\right) \n\end{split} \n\end{align*} \nMuestre que, \n\[ \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dp_1\dots dp_n P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) = \left|\psi(x_1,\dots,x_n)\right|^2\] \nque son las probabilidades correctas para las coordenadas. Muestre que, \n\[ \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\dots dx_n \, P(x_1,\dots,x_n,p_1,\dots,p_n) = \left|\tilde{\psi}(p_1,\dots,p_n)\right|^2\] \nque son las probabilidades correctas para los momentos donde, \n\[ \tilde{\psi}(p_1,\dots,p_n) = \int_{-\infty}^{\infty}\dots\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\dots dx_n \psi(x_1,\dots,x_n) \exp\left(-\frac{i}{\hbar}(x_1p_1+\dots+x_np_n)\right)\] \nes la transformada de Fourier de la función de onda $\psi(x_1,\dots,x_n)$ . Por lo tanto, la función $P$ definida anteriormente parece ser una buena candidata para una distribución de probabilidad en la mecánica cuántica. ¿Esto no contradiría la parte (a)? Dé razones para respaldar su respuesta.

Pequeño Mario y la viga cilíndrica Little Mario desea saltar sobre una viga cilíndrica muy larga (prácticamente infinita) de radio $r$ cuyo eje está a una altura $h$ del suelo. ¿Con qué velocidad inicial mínima debe lanzarse si: \n* ¿Se le permite a Mario tocar la viga (desprecie los efectos de fricción)? \n* ¿No se le permite a Mario tocar la viga? \nAproxime Little Mario por una partícula puntual para su conveniencia. La aceleración debido a la gravedad es $g$ .

Termodinámica de agujeros negros El objetivo de este problema es explorar algunas propiedades interesantes de los agujeros negros. La siguiente ecuación fue obtenida por L. Smarr en 1973: \n\[ M^2 = \frac{1}{16\pi} A + \frac{4\pi}{A}\left(J^2 + \frac{1}{4}Q^4\right)+\frac{1}{2}Q^2\] \ndonde $M$ , $J$ , $Q$ y $A$ son la masa, el momento angular, la carga y el área del horizonte de eventos de un agujero negro. Para hacer contacto con la termodinámica escribimos para la entropía del Agujero Negro, \n\[S = \frac{1}{4}k_B A\] \ndonde $k_B$ es la constante de Boltzmann. Trabaje en unidades naturales $G = \hbar = c = 1$ y muestre que la ecuación para la entropía es dimensionalmente correcta. Tome $k_B = 1/8\pi$ (eligiendo unidades) y derive una expresión para $S(M,J,Q)$ . ¿Es esta expresión única? (Pista: ¿Cuál es la entropía del Agujero Negro de Schwarzschild que corresponde a $J=Q=0$ ? ) \n* Suponemos que la masa-energía $M$ (ya que $c=1$ ) juega el papel de energía interna. Muestre que $T,\Omega,\Phi$ definidos vía, \n\[ dM = T dS + \Omega dJ + \Phi dQ\] \nestán dados por, \n\begin{eqnarray*} \n& T = \frac{1}{M} \left[1- \frac{1}{16S^2}\left(J^2 + \frac{1}{4}Q^4\right)\right] \\ \n& \Omega = \frac{J}{8MS}\\\n& \Phi = \frac{Q}{2M}\left[1+\frac{Q^2}{8S}\right]. \n\end{eqnarray*} \nEsta es la analogía de la primera ley de la termodinámica. Observe de cerca la expresión para $M(S,J,Q)$ y derive la analogía de la Relación de Gibbs-Duhem familiar de la Termodinámica. Muestre que, \n\[ S \to \frac{1}{4}M^2 - \frac{1}{8}Q^2 \] \ncuando $T \to 0$ . ¿Qué dice esto sobre la tercera ley de la termodinámica? Dé razones para respaldar su respuesta. \n* Una declaración alternativa a la tercera ley es que 'es imposible alcanzar el cero absoluto en un número finito de pasos'. ¿Qué podemos concluir de la parte (e)?

Un conjunto $M$ de números naturales se llama espectro si existe un lenguaje de primer orden $L$ y una sentencia $\phi$ sobre $L$ tal que: \n$$M = \{ n \mid \phi \text{ tiene un modelo que contiene exactamente $n$ elementos}\}$$ \nPor ejemplo, considere una sentencia $\phi = \exists e . (\forall x. x = e)$ en un lenguaje de primer orden sin símbolo de relación, sin símbolo de función y sin símbolo de constante. La fórmula $\phi$ solo admite un modelo que contiene exactamente 1 elemento. Por lo tanto, el conjunto $\{1\}$ es un espectro. Muestre que: \n* Todo subconjunto finito de $\mathbb{N} \setminus \{0\} $ es un espectro \n* El conjunto de números pares, es decir, $\{2k \mid k \in \mathbb{N}\}$ es un espectro \n* Para cualquier $m \geq 1$ fijo, el conjunto de números mayores que $0$ que son divisibles por $m$ , es decir, $\{m\cdot k \mid k \in \mathbb{N}\}$ es un espectro

Sea $\Sigma$ un conjunto finito. Para $x,y \in \Sigma^{\ast}$ , defina \n\[x\preceq y\] \nsi $x$ es una subcadena (no necesariamente contigua) de $y$ . Por ejemplo, $ac \preceq abc$ . Llamamos a un conjunto $S\subseteq \Sigma^{\ast}$ bueno si $\forall x,y \in \Sigma^{\ast}$ , \n$$ x\preceq y, \; y \in S \; \; \; \Rightarrow \; x\in S .$$ \nPruebe o refute: Todo conjunto bueno es regular.

Dados dos bosques $A$ y $B$ con $\(V(A) = V(B)\)$ , es decir, los grafos están sobre el mismo conjunto de vértices. Suponga que $A$ tiene estrictamente más bordes que $B$ . Pruebe que existe un borde de $A$ que si se incluye en el conjunto de bordes de $B$ , entonces $B$ seguirá siendo un bosque. Los grafos no están dirigidos.

Se nos dan $k$ colores y tenemos que asignar un solo color a cada vértice. Un borde se satisface si los vértices en ese borde son de diferentes colores. Pruebe que siempre puede encontrar un algoritmo que asigne colores a los vértices de modo que al menos $\frac{k - 1}{k}|E|$ bordes estén satisfechos donde $\(|E|\)$ es la cardinalidad de los bordes en el grafo. Pruebe que existe un algoritmo determinista de tiempo polinómico para esto.