Sean $a_1,a_2, \dots a_n$ números reales positivos. Defina $b_1,b_2, \dots b_n$ como sigue. \n\begin{align*} b_1&=a_1 \\ b_2&=max(a_1,a_2)\\ b_i&=max(b_{i-1},b_{i-2}+a_i) \text{ para } i=3,4 \dots n \end{align*} \nTambién defina $c_1,c_2 \dots c_n$ como sigue. \n\begin{align*} c_n&=a_n \\ c_{n-1}&=max(a_n,a_{n-1})\\ c_i&=max(c_{i+1},c_{i+2}+a_i) \text{ para } i=n-2,n-3 \dots 1 \end{align*} \nPruebe que $b_n=c_1$ .

Una secuencia positiva es una secuencia finita de enteros positivos. La suma de una secuencia es la suma de todos los elementos en la secuencia. Decimos que una secuencia $A$ puede ser incrustada en otra secuencia $B$ , si existe una función estrictamente creciente \n$$\phi : \{1,2, \ldots, |A|\} \rightarrow \n\{1,2, \ldots, |B|\},$$ \ntal que $\forall i \in \{1, 2, \ldots ,|A|\}$ , \n$$A[i] \leq B[\phi(i)],$$ \ndonde $|S|$ denota la longitud de una secuencia $S$ . Por ejemplo, $(1,1,2)$ puede ser incrustado en $(1,2,3)$ , pero $(3,2,1)$ no puede ser incrustado en $(1,2,3)$ Dado un entero positivo $n$ , construya una secuencia positiva $U$ con suma $O(n \, \log \, n)$ , tal que todas las secuencias positivas con suma $n$ , puedan ser incrustadas en $U$ .

Se da una matriz $A$ de $2n$ números, donde $n$ es un entero positivo. Dé un algoritmo para crear una matriz $prod$ de longitud $2n$ donde \n$$prod[i] \, = \, A[i] \times A[i+1] \times \cdots \times A[i+n-1],$$ \n( $A[x]$ significa $A[x \ \text{mod}\ 2n]$ ) en tiempo $O(n)$ sin usar la división. Asuma que todas las operaciones aritméticas binarias son $O(1)$

Se da una cuadrícula de $n\times n$ con todos los cuadrados en una diagonal prohibidos. Se le permite comenzar desde cualquier cuadrado y moverse un paso horizontal, vertical o diagonalmente. No se le permite visitar un cuadrado prohibido o un cuadrado visitado previamente. Su objetivo es visitar todos los cuadrados no prohibidos. Encuentre, con prueba, el número mínimo de veces que tendrá que moverse un paso diagonalmente.

Sea $n$ un entero positivo fijo. - Muestre que existen polinomios reales $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k \in \mathbb{R}[x_1, \cdots, x_n]$ tales que \n\[(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 + p_1(x_1, \cdots, x_n)^2 + p_2(x_1, \cdots, x_n)^2 + \cdots + p_k(x_1, \cdots, x_n)^2 = n(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)\] \n- Encuentre el menor número natural $k$ , dependiendo de $n$ , tal que los polinomios anteriores $p_1, p_2, \cdots, p_k$ existan.

Sea $p \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}$ un entero positivo fijo. Pruebe que para cada $K > 0$ , existen infinitos $n$ y $N$ tales que hay al menos $\dfrac{KN}{\log(N)}$ primos entre los siguientes $N$ números dados por \n\[n + 1, n + 2^p, n + 3^p, \cdots, n + N^p.\]

¿Existe un número algebraico no nulo $\alpha$ con $|\alpha| \neq 1$ tal que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales existe $\beta_n \in \mathbb{C}$ con $\beta_n \in \mathbb{Q}(\alpha)$ y $\beta_n^n = \alpha$ ?

Sea $M>1$ un número natural. Tom y Jerry juegan un juego. Jerry gana si puede producir una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfaga $f(M) \ne M$ , $f(k)<2k$ para todo $k \in \mathbb{N}$ , $f^{f(n)}(n)=n$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . Para cada $\ell>0$ definimos $f^{\ell}(n)=f\left(f^{\ell-1}(n)\right)$ y $f^0(n)=n$ . Tom gana en caso contrario. Pruebe que para infinitos $M$ , Tom gana, y para infinitos $M$ , Jerry gana.

Sea $n$ un entero positivo fijo. - Muestre que existen polinomios reales $p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k \in \mathbb{R}[x_1, \cdots, x_n]$ tales que \n\[(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 + p_1(x_1, \cdots, x_n)^2 + p_2(x_1, \cdots, x_n)^2 + \cdots + p_k(x_1, \cdots, x_n)^2 = n(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)\] \n- Encuentre el menor número natural $k$ , dependiendo de $n$ , tal que los polinomios anteriores $p_1, p_2, \cdots, p_k$ existan.

Sea $ABC$ un triángulo con $I$ como incentro. El incírculo toca a $BC$ en $D$ . Sea $D'$ el antípoda de $D$ en el incírculo. Haga una tangente en $D'$ al incírculo. Sea esta tangente que se encuentre con $(ABC)$ en $X,Y$ respectivamente. Sea la otra tangente desde $X$ que se encuentre con la otra tangente desde $Y$ en $Z$ . Pruebe que $(ZBD)$ se encuentra con $IB$ en el punto medio de $IB$