Determine todos los polinomios mónicos no constantes $P(x)$ con coeficientes enteros tales que ningún primo $p>10^{100}$ divide a ningún número de la forma $P(2^n)$

Un triángulo acutángulo $\mathcal{T}$ está inscrito en el círculo $\Omega$ . Denotemos por $\Gamma$ el círculo de los nueve puntos de $\mathcal{T}$ . Un círculo $\omega$ pasa por dos de los vértices de $\mathcal{T}$ , y el centro de $\Omega$ . Pruebe que las tangentes externas comunes de $\Gamma$ y $\omega$ se encuentran en la bisectriz externa del ángulo en el tercer vértice de $\mathcal{T}$ .

Sea $n>1$ cualquier entero. Defina $f,g$ como funciones de $\{0,1,2,\cdots,n-1 \}$ a $\{0,1,2,\cdots,n-1\}$ definidas como \n\begin{align*} \n&f(i)=2i \pmod{n} \\ \n&g(i)=2i+1 \pmod{n} \n\end{align*} \nMuestre que para cualquier entero $\ell,m \in \{0,1,2,\cdots,n-1 \}$ , hay infinitas composiciones de $f,g$ que mapean $\ell$ a $m$

Un triángulo escaleno agudo $\triangle{ABC}$ con altitudes $\overline{AD}, \overline{BE},$ y $\overline{CF}$ está inscrito en el círculo $\Gamma$ . Las medianas desde $B$ y $C$ se encuentran con $\Gamma$ nuevamente en $K$ y $L$ respectivamente. Pruebe que las circunferencias circunscritas de $\triangle{BFK}, \triangle{CEL}$ y $\triangle{DEF}$ concurren.

Suponga que $f: \mathbb{R}^{+} \mapsto \mathbb{R}^{+}$ es una función tal que $\frac{f(x)}{x}$ es creciente en $\mathbb{R}^{+}$ . Para $a,b,c>0$ , pruebe que $$2\left (\frac{f(a)+f(b)}{a+b} + \frac{f(b)+f(c)}{b+c}+ \frac{f(c)+f(a)}{c+a} \right) \geq 3\left(\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{a+b+c}\right) + \frac{f(a)}{a}+ \frac{f(b)}{b}+ \frac{f(c)}{c}$$

Sea $f(x)=x^{2021}+15x^{2020}+8x+9$ con raíces $a_i$ donde $i=1,2,\cdots , 2021$ . Sea $p(x)$ un polinomio del mismo grado tal que $p \left(a_i + \frac{1}{a_i}+1 \right)=0$ para cada $1\leq i \leq 2021$ . Si $\frac{3p(0)}{4p(1)}=\frac{m}{n}$ donde $m,n \in \mathbb{Z}$ , $n>0$ y $\gcd(m,n)=1$ . Entonces encuentre $m+n$ .

El octágono cíclico $ABCDEFGH$ tiene lados $a,a,a,a,b,b,b,b$ respectivamente. Encuentre el radio del círculo que circunscribe a $ABCDEFGH.$

Resuelva el sistema \begin{eqnarray*} \\ (x+y)(x+y+z) &=& 18 \\ (y+z)(x+y+z) &=& 30 \\ (x+z)(x+y+z) &=& 2A \end{eqnarray*} en términos del parámetro $A$ .

Pruebe que \[ 1 < \frac{1}{1001} + \frac{1}{1002} + \frac{1}{1003} + \cdots + \frac{1}{3001} < 1 \frac{1}{3}. \]

$ABCD$ es un cuadrilátero y $P,Q$ son los puntos medios de $CD, AB, AP, DQ$ se encuentran en $X$ y $BP, CQ$ se encuentran en $Y$ . Pruebe que $A[ADX]+A[BCY] = A[PXOY]$ .