$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico con $AC \perp BD$ ; $AC$ se encuentra con $BD$ en $E$ . Pruebe que \[ EA^2 + EB^2 + EC^2 + ED^2 = 4 R^2 \] donde $R$ es el radio del círculo circunscrito.

Determine el número primo de $3$ dígitos más grande que es un factor de ${2000 \choose 1000}$ .

Si $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ , donde $a,b,c$ son enteros positivos sin factor común, pruebe que $(a +b)$ es un cuadrado.

Determine el conjunto de enteros $n$ para los cuales $n^2+19n+92$ es un cuadrado.

Suponga que $a$ y $b$ son dos números reales positivos tales que las raíces de la ecuación cúbica $x^3 - ax + b = 0$ son todas reales. Si $\alpha$ es una raíz de esta cúbica con valor absoluto mínimo, demuestre que \[ \dfrac{b}{a} < \alpha < \dfrac{3b}{2a}. \]

Encuentre el número de arreglos de $4 \times 4$ cuyas entradas son del conjunto $\{ 0 , 1, 2, 3 \}$ y que son tales que la suma de los números en cada una de las cuatro filas y en cada una de las cuatro columnas es divisible por $4$ .

En un cuadrado unitario se dibujan cien segmentos desde el centro hasta los lados dividiendo el cuadrado en cien partes (triángulos y posiblemente cuadriláteros). Si todas las partes tienen igual perímetro $p$, demuestre que $\dfrac{14}{10} < p < \dfrac{15}{10}$ .

Si $a,b,c$ son tres números reales y \[ a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = t \] para algún número real $t$, demuestre que $abc + t = 0 .$

Demuestre que no existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que \[ \dfrac{m}{n} + \dfrac{n+1}{m} = 4 . \]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Suponga que una línea que pasa por $C$ y que se encuentra fuera del paralelogramo se encuentra con $AB$ y $AD$ producidos en $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que \[ AC^2 + CE \cdot CF = AB \cdot AE + AD \cdot AF . \]