Demostrar que entre todos los cuadriláteros de un perímetro dado, el cuadrado tiene el área más grande.

Supongamos que $ A_1,\dots, A_6$ son seis conjuntos, cada uno con cuatro elementos y $ B_1,\dots,B_n$ son $ n$ conjuntos, cada uno con dos elementos. Sea $ S = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_6 = B_1 \cup \cdots \cup B_n$ . Dado que cada elemento de $ S$ pertenece exactamente a cuatro de los $ A$ 's y exactamente a tres de los $ B$ 's, encuentre $ n$ .

Si $ a$ , $ b$ , $ x$ , $ y$ son enteros mayores que 1 tales que $ a$ y $ b$ no tienen factor común excepto 1 y $ x^a = y^b$ mostrar que $ x = n^b$ , $ y = n^a$ para algún entero $ n$ mayor que 1.

Construir un cuadrilátero que no sea un paralelogramo, en el que un par de ángulos opuestos y un par de lados opuestos sean iguales.

Si $ P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros y $ a$ , $ b$ , $ c$ , tres enteros distintos, entonces demuestre que es imposible tener $ P(a)=b$ , $ P(b)=c$ , $ P(c)=a$ .

Encuentra el número natural más pequeño cuyo último dígito es 7 tal que se vuelve 5 veces más grande cuando este último dígito se traslada al principio del número.

Dos círculos con radios a y b respectivamente se tocan externamente. Sea c el radio de un círculo que toca estos dos círculos, así como una tangente común a los dos círculos. Demostrar que \[ \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\]

Resolver \[ \left\{ \begin{array}{l} \log_2 x+\log_4 y+\log_4 z=2 \\ \log_3 y+\log_9 z+\log_9 x=2 \\ \log_4 z+\log_{16} x+\log_{16} y=2 \\ \end{array} \right.\]

Una persona que salió de casa entre las 4 p.m. y las 5 p.m. regresó entre las 5 p.m. y las 6 p.m. y descubrió que las manecillas de su reloj habían intercambiado posiciones exactamente. ¿A qué hora salió?

Sean \(x,y,z\) números reales, cada uno mayor que \(1\). Demuestra que \(\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1} \leq \dfrac{x-1}{y-1}+\dfrac{y-1}{z-1}+\dfrac{z-1}{x-1}\).