Sea \(\Omega\) un círculo con una cuerda \(AB\) que no es un diámetro. Sea \(\Gamma_{1}\) un círculo en un lado de \(AB\) tal que es tangente a \(AB\) en \(C\) y tangente internamente a \(\Omega\) en \(D\). Del mismo modo, sea \(\Gamma_{2}\) un círculo en el otro lado de \(AB\) tal que es tangente a \(AB\) en \(E\) y tangente internamente a \(\Omega\) en \(F\). Supongamos que la línea \(DC\) interseca a \(\Omega\) en \(X \neq D\) y la línea \(FE\) interseca a \(\Omega\) en \(Y \neq F\). Demuestra que \(XY\) es un diámetro de \(\Omega\).

Considera \(n^2\) cuadrados unitarios en el plano \(xy\) centrados en el punto \((i,j)\) con coordenadas enteras, \(1 \leq i \leq n\), \(1 \leq j \leq n\). Se requiere colorear cada cuadrado unitario de tal manera que siempre que \(1 \leq i < j \leq n\) y \(1 \leq k < l \leq n\), los tres cuadrados con centros en \((i,k),(j,k),(j,l)\) tengan colores distintos. ¿Cuál es el menor número posible de colores necesarios?

Sean \(P(x)=x^2+\dfrac x 2 +b\) y \(Q(x)=x^2+cx+d\) dos polinomios con coeficientes reales tales que \(P(x)Q(x)=Q(P(x))\) para todo \(x\) real. Encuentra todas las raíces reales de \(P(Q(x))=0\).

Demuestra que la ecuación \(a^3+(a+1)^3+\ldots+(a+6)^3=b^4+(b+1)^4\) no tiene soluciones en enteros \(a,b\).

Sea \(\angle AOB\) un ángulo dado menor que \(180^{\circ}\) y sea \(P\) un punto interior de la región angular determinada por \(\angle AOB\). Demuestra, con prueba, cómo construir, usando sólo regla y compás, un segmento de línea \(CD\) que pasa por \(P\) tal que \(C\) se encuentra en el rayo \(OA\) y \(D\) se encuentra en el rayo \(OB\), y \(CP:PD=1:2\).

Considera la posición inicial en un juego de bughouse. Exhibe una secuencia de movimientos en ambos tableros, indicando la cronología, de modo que al final: (a) Las posiciones en ambos tableros sean las mismas que las posiciones originales. (b) Le toca jugar a las Blancas en un tablero, pero a las Negras en el otro. (c) Los cuatro jugadores aún tienen el derecho de enrocar posteriormente (equivalentemente, los reyes y torres no se han movido). para cada uno de los siguientes casos: (a) sin mover ningún peón. (b) sin mover ninguna reina.

Encuentra todas las funciones $f :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que $f(m + f(n)f(m)) = nf(m) + m$ se cumple para todos los $m,n \in \mathbb{N}$.

Si hay enteros $a,b,c$ tales que $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ es divisible por un primo $p$ tal que $\text{gcd}(p,\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{p})=1$, entonces prueba que hay enteros $x,y,z$ tales que $p=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$.

Sea $f$ un polinomio mónico irreducible con coeficientes enteros tal que $f(0)$ no es igual a $1$. Sea $z$ un número complejo que es una raíz de $f$. Demuestra que si $w$ es otra raíz compleja de $f$, entonces $\frac{z}{w}$ no puede ser un entero positivo mayor que $1$.

Dado $\triangle ABC$ con $\angle A = 15^{\circ}$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ y sean $E$ y $F$ puntos en el rayo $BA$ y $CA$ respectivamente tales que $BE = BM = CF$. Sea $R_1$ el radio de $(MEF)$ y $R_{2}$ el radio de $(AEF)$. Si $\frac{R_1^2}{R_2^2}=a-\sqrt{b+\sqrt{c}}$ donde $a,b,c$ son enteros. Encuentra $a^{b^{c}}$