Llamamos a un camino Válido si i. Solo comprende el siguiente tipo de pasos: A. $(x, y) \rightarrow (x + 1, y + 1)$ B. $(x, y) \rightarrow (x + 1, y - 1)$ ii. Nunca va por debajo del eje x. Sea $M(n)$ = conjunto de todos los caminos válidos desde $(0,0)$ , hasta $(2n,0)$ , donde $n$ es un número natural. Considera un camino Válido $T \in M(n)$. Denotemos $\phi(T) = \prod_{i=1}^{2n} \mu_i$ , donde $\mu_i$ = a) $1$ , si el $i^{th}$ paso es $(x, y) \rightarrow (x + 1, y + 1)$ b) $y$ , si el $i^{th}$ paso es $(x, y) \rightarrow (x + 1, y - 1)$ Ahora, sea $f(n) =\sum _{T \in M(n)} \phi(T)$. Evalúa el número de ceros al final en la expansión decimal de $f(2021)$

Define una función $g :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $g(x)=\sqrt{4^x+\sqrt {4^{x+1}+\sqrt{4^{x+2}+...}}}$. Encuentra los últimos 2 dígitos en la representación decimal de $g(2021)$.

Tenemos $2022$ $1s$ escritos en una pizarra en una línea. Elegimos aleatoriamente una secuencia estrictamente creciente de ${1, 2, . . . , 2022}$ tal que el último término sea $2022$. Si la secuencia elegida es $a_1, a_2, ..., a_k$ ($k$ no es fijo), entonces en el $i^{th}$ paso, elegimos los primeros a $_i$ números en la línea y cambiamos los 1s a 0s y los 0s a 1s. Después de que terminan los $k$ pasos, calculamos la suma de los números en la pizarra, digamos $S$. El valor esperado de $S$ es $\frac{a}{b}$ donde $a, b$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $a + b.$

Pruebe que el producto de los primeros $1000$ enteros pares positivos difiere del producto de los primeros $1000$ enteros impares positivos por un múltiplo de $2001$.

Si $x,y,z$ son lados de un triángulo, pruebe que \[ | x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y) | < xyz. \]

En un triángulo $ABC$, $D$ es un punto en $BC$ tal que $AD$ es la bisectriz interna de $\angle A$. Suponga que $\angle B = 2 \angle C$ y $CD =AB$. pruebe que $\angle A = 72^{\circ}$.

Considere un arreglo de $n \times n$ de números $a_{ij}$ (notación estándar). Suponga que cada fila consiste de los $n$ números $1,2,\ldots n$ en algún orden y $a_{ij} = a_{ji}$ para $i , j = 1,2, \ldots n$. Si $n$ es impar, pruebe que los números $a_{11}, a_{22} , \ldots a_{nn}$ son $1,2,3, \ldots n$ en algún orden.

Encuentre el número de enteros positivos $x$ tales que \[ \left[ \frac{x}{99} \right] = \left[ \frac{x}{101} \right] . \]

Encuentre todos los primos $p$ y $q$ tales que $p^2 + 7pq + q^2$ es un cuadrado perfecto.

Sean $BE$ y $CF$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ con $E$ en $AC$ y $F$ en $AB$. Sea $O$ el punto de intersección de $BE$ y $CF$. Tome cualquier línea $KL$ que pase por $O$ con $K$ en $AB$ y $L$ en $AC$. Suponga que $M$ y $N$ están ubicados en $BE$ y $CF$ respectivamente, tal que $KM$ es perpendicular a $BE$ y $LN$ es perpendicular a $CF$. Demuestre que $FM$ es paralelo a $EN$.