Para un entero positivo $N$, sea $T(N)$ denota el número de arreglos de los enteros $1, 2, \cdots N$ en una secuencia $a_1, a_2, \cdots a_N$ tal que $a_i > a_{2i}$ para todo $i$, $1 \le i < 2i \le N$ y $a_i > a_{2i+1}$ para todo $i$, $1 \le i < 2i+1 \le N$. Por ejemplo, $T(3)$ es $2$, ya que los arreglos posibles son $321$ y $312$\n(a) Encuentra $T(7)$\n(b) Si $K$ es el entero no negativo más grande tal que $2^K$ divide a $T(2^n - 1)$, demuestra que $K = 2^n - n - 1$.\n(c) Encuentra el entero no negativo más grande $K$ tal que $2^K$ divide a $T(2^n + 1)$

Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales existe una permutación $\sigma$ de $\{1,2,\ldots, n\}$ que satisface: \n$$\n\sum_{i=1}^n \sigma(i)(-2)^{i-1}=0\n$$

Sea $D$ un punto interior en el lado $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$. Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $ADB$ que intersecta a $AC$ de nuevo en $E(\ne A)$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ que intersecta a $AB$ de nuevo en $F(\ne A)$. Sea $AD$, $BE$ y $CF$ que intersectan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ de nuevo en $D_1(\ne A)$, $E_1(\ne B)$ y $F_1(\ne C)$, respectivamente. Sean $I$ e $I_1$ los incentros de los triángulos $DEF$ y $D_1E_1F_1$, respectivamente. Demuestra que $E, F, I, I_1$ son concíclicos.

Demuestra que el número de 5-tuplas ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ ) tales que $abcde = 5(bcde + acde + abde + abce + abcd)$ es impar

S es el conjunto de todas las ( $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ ) donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ son enteros tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = f^2$ . Encuentra el mayor $k$ que divide abcdef para todos los miembros de $S$

$ABC$ es un triángulo, con lados $a$ , $b$ , $c$ , circunradio $R$ , y exradios $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ . Si $2R\leq r_a$ , demuestra que $a > b$ , $a > c$ , $2R > r_b$ , y $2R > r_c$

Si $a$ es una raíz real de $x^5 - x^3 + x - 2 = 0$ , demuestra que $[a^6] =3$

$p > 3$ es un primo. Encuentra todos los enteros $a$ , $b$ , tales que $a^2 + 3ab + 2p(a+b) + p^2 = 0$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $K$ , $L$ , $M$ , $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . $BD$ biseca a $KM$ en $Q$ . $QA = QB = QC = QD$ , y $\frac{LK}{LM} = \frac{CD}{CB}$ . Demuestra que $ABCD$ es un cuadrado

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos tales que $a+ b +c =1$ . Sea $\lambda = min \{ a^3 + a^2bc , b^3 + b^2 ac , c^3 + ab c^2 \}$ Demuestra que las raíces de $x^2 + x + 4 \lambda = 0$ son reales.