Determina todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $a \leq b \leq c$ y $a +b + c + ab+ bc +ca = abc +1$ .

En un triángulo ABC, D es el punto medio de BC. Si $\angle ADB = 45 ^{\circ}$ y $\angle ACD = 30^{\circ}$ , determine $\angle BAD.$

Encuentra el número de números de 5 dígitos que cada uno contiene el bloque '15' y es divisible por 15.

Si $a,b,c$ son tres números reales positivos tales que $| a-b | \geq c , | b-c | \geq a, | c-a | \geq b$ . Demuestra que uno de $a,b,c$ es igual a la suma de los otros dos.

Si $x,y$ son enteros y $17$ divide tanto a $x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y$ como a $x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y$ , entonces demuestra que $17$ divide a $xy - 12x + 15y$.

Sea ABCD un cuadrilátero convexo; P, Q, R, S son los puntos medios de AB, BC, CD, DA respectivamente, tales que los triángulos AQR, CSP son equiláteros. Demuestra que ABCD es un rombo. Encuentra sus ángulos.

¿Cuál es la suma (en base $10$) de todos los números naturales menores que $64$ que tienen exactamente tres unos en su representación en base $2$?

En un triángulo $ABC$ con $\angle BC A = 90^o$, la bisectriz perpendicular de $AB$ intersecta a los segmentos $AB$ y $AC$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Si la razón del área del cuadrilátero $BXYC$ al área del triángulo $ABC$ es $13 : 18$ y $BC = 12$ entonces, ¿cuál es la longitud de $AC$ ?

¿Cuál es el valor máximo posible de $k$ para el cual $2013$ se puede escribir como una suma de $k$ enteros positivos consecutivos?

Sea $S$ un círculo con centro $O$. Una cuerda $AB$, que no es un diámetro, divide a $S$ en dos regiones $R_1$ y $R_2$ tal que $O$ pertenece a $R_2$. Sea $S_1$ un círculo con centro en $R_1$, que toca a $AB$ en $X$ y a $S$ internamente. Sea $S_2$ un círculo con centro en $R_2$, que toca a $AB$ en $Y$, al círculo $S$ internamente y que pasa por el centro de $S$. El punto $X$ se encuentra en el diámetro que pasa por el centro de $S_2$ y $\angle YXO=30^o$. Si el radio de $S_2$ es $100 $ entonces, ¿cuál es el radio de $S_1$ ?