Sea $f(x) = x^3 - 3x + b$ y $g(x) = x^2 + bx -3$ , donde $b$ es un número real. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $b$ para los cuales las ecuaciones $f(x)$ = 0 y $g(x) = 0$ tienen una raíz común?

Sean $A_1,B_1,C_1,D_1$ los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo $ABCD$ y sean $A_2, B_2, C_2, D_2$ los puntos medios de los lados del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$. Si $A_2B_2C_2D_2$ es un rectángulo con lados $4$ y $6$, ¿cuál es el producto de las longitudes de las diagonales de $ABCD$ ?

Sea $m$ el entero positivo impar más pequeño para el cual $1+ 2 +...+ m$ es un cuadrado de un entero y sea $n$ el entero positivo par más pequeño para el cual $1 + 2 + ... + n$ es un cuadrado de un entero. ¿Cuál es el valor de $m + n$ ?

A cada elemento del conjunto $S = \{1,2,... ,1000\}$ se le asigna un color. Suponga que para dos elementos cualesquiera $a, b$ de $S$, si $15$ divide a $a + b$ entonces a ambos se les asigna el mismo color. ¿Cuál es el número máximo posible de colores distintos utilizados?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $P$ y $S$ puntos en $AB$ y $AC$, respectivamente, y sean $Q$ y $R$ puntos en $BC$ tales que $PQRS$ es un rectángulo. Si $PQ = \sqrt3 PS$ y el área de $PQRS$ es $28\sqrt3$, ¿cuál es la longitud de $PC$?

Tres números reales $x, y, z$ son tales que $x^2 + 6y = -17, y^2 + 4z = 1$ y $z^2 + 2x = 2$. ¿Cuál es el valor de $x^2 + y^2 + z^2$ ?

A Carol se le dieron tres números y se le pidió que sumara el mayor de los tres al producto de los otros dos. En cambio, multiplicó el mayor con la suma de los otros dos, pero aun así obtuvo la respuesta correcta. ¿Cuál es la suma de los tres números?

En un triángulo $ABC$, sean $H, I$ y $O$ el ortocentro, el incentro y el circuncentro, respectivamente. Si los puntos $B, H, I, C$ están en un círculo, ¿cuál es la magnitud de $\angle BOC$ en grados?

Sean $AD$ y $BC$ los lados paralelos de un trapecio $ABCD$. Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$. Si $AD = 16$ y $BC = 20$, ¿cuál es la longitud de $PQ$?

Sean Akbar y Birbal quienes tienen juntos $n$ canicas, donde $n > 0$. Akbar le dice a Birbal: 'Si te doy algunas canicas, entonces tendrás el doble de canicas que yo'. Birbal le dice a Akbar: 'Si te doy algunas canicas, entonces tendrás el triple de canicas que yo'. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $n$ para que las afirmaciones anteriores sean verdaderas?