Sea $S(M)$ la suma de los dígitos de un entero positivo $M$ escrito en base $10$. Sea $N$ el entero positivo más pequeño tal que $S(N) = 2013$. ¿Cuál es el valor de $S(5N + 2013)$?

Hay $n -1$ bolas rojas, $n$ bolas verdes y $n + 1$ bolas azules en una bolsa. El número de formas de elegir dos bolas de la bolsa que tienen diferentes colores es $299$ . ¿Cuál es el valor de $n$?

Tres puntos $X, Y,Z$ están en una línea recta tal que $XY = 10$ y $XZ = 3$ . ¿Cuál es el producto de todos los valores posibles de $YZ$?

Se da que la ecuación $x^2 + ax + 20 = 0$ tiene raíces enteras. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a$?

Sea $S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ . ¿Cuál es el valor de $\sum_{n=1}^{99}\frac{1}{S_n+S_{n-1}}$ ?

¿Cuál es el entero positivo más pequeño $k$ tal que $k(3^3 + 4^3 + 5^3) = a^n$ para algunos enteros positivos $a$ y $n$, con $n > 1$?

La longitud de cada lado de un cuadrilátero convexo $ABCD$ es un entero positivo. Si la suma de las longitudes de cualesquiera tres lados es divisible por la longitud del lado restante, entonces demuestre que algunos dos lados del cuadrilátero tienen la misma longitud.

Sean $x,y,z$ números reales tales que $x^2+y^2+z^2-2xyz=1$ . Demuestre que \[ (1+x)(1+y)(1+z)\le 4+4xyz. \]

Sea $S=\{1,2,\cdots, n\}$ y sea $T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas de subconjuntos de $S$ , digamos $(A_1, A_2, A_3)$ , tales que $A_1\cup A_2\cup A_3=S$ . Determine, en términos de $n$ , \[ \sum_{(A_1,A_2,A_3)\in T}|A_1\cap A_2\cap A_3|\]

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B = 90^\circ$ y sea $BD$ la altura desde $B$ hasta $AC$ . Dibuje $DE \perp AB$ y $DF \perp BC$ . Sean $P, Q, R$ y $S$ respectivamente los incentros del triángulo $DF C, DBF, DEB$ y $DAE$ . Suponga que $S, R, Q$ son colineales. Demuestre que $P, Q, R, D$ se encuentran en un círculo.