Encuentre todos los números naturales de tres dígitos de la forma $(abc)_{10}$ tales que $(abc)_{10}$ , $(bca)_{10}$ y $(cab)_{10}$ están en progresión geométrica. (Aquí $(abc)_{10}$ es la representación en base $10$ . )

Sea $P(x)$ un polinomio cuyos coeficientes son enteros positivos. Si $P(n)$ divide a $P(P(n)-2015)$ para cada número natural $n$ , demuestre que $P(-2015)=0$. Una condición adicional debe ser dada que $P$ es no constante, lo cual incluso se entiende.

Determine el número de números de $3-$ d ígitos en base $10$ que tienen al menos un $5$ y como máximo un $3$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=a$ , $BC=b$ , $CD=c$ y $DA=d$ . Suponga que \[a^2+b^2+c^2+d^2=ab+bc+cd+da,\] y el área de $ABCD$ es $60$ unidades cuadradas. Si la longitud de una de las diagonales es $30$ unidades, determine la longitud de la otra diagonal.

Encuentra todos los enteros $a, b, c, d$ tales que\n(i) $1 \leq a \leq b \leq c \leq d$;\n(ii) $ab + cd = a + b + c + d + 3$.

Demuestra que para cualquier número natural $n > 1$,\n\[ \frac{1}{2} < \frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2 +2} + \ldots + \frac{n}{n^2 + n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}. \]

La circunferencia de un círculo se divide en ocho arcos por un cuadrilátero convexo $ABCD$, con cuatro arcos dentro del cuadrilátero y los cuatro restantes fuera de él. Las longitudes de los arcos que se encuentran dentro del cuadrilátero se denotan por $p, q, r, s$ en dirección contraria a las agujas del reloj. Supongamos que $p + r = q + s$. Demuestra que $ABCD$ es cíclico.

Supongamos que los enteros $1, 2, \ldots, 10$ se dividen en dos colecciones disjuntas $a_1, a_2, \ldots a_5$ y $b_1, \ldots b_5$ tales que $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$, $b_1 < b_2 < b_3 < b_4 < b_5$.\n(i) Demuestra que el número más grande en cualquier par $\{a_j, b_j\}$, $1 \leq j \leq 5$ es al menos $6$.\n(ii) Demuestra que $\sum_{i=1}^{5} |a_i - b_i| = 25$ para cada partición.

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demuestra que $abc$ divide a $(a + b +c)^7$.

Resuelve para $x$ real:\n\[ (x^2 + x -2 )^3 + (2x^2 - x -1)^3 = 27(x^2 -1 )^3. \]