En un triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D, E, F$ se encuentran en los lados $BC, CA, AB$ tales que\n\[ \frac{CD}{CE} = \frac{CA}{CB} , \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} , \frac{BF}{FD} = \frac{BC}{BA} \]\nDemuestra que $AD, BE, CF$ son alturas del triángulo $ABC$.

Sea $n$ un entero positivo mayor que $1$, y sea $p$ un primo tal que $n$ divide a $p-1$ y $p$ divide a $n^3-1$. Demuestre que $4p-3$ es un cuadrado.

Sea $n$ un entero positivo y $\{A,B,C\}$ una partición de $\{1,2,\ldots,3n\}$ tal que $|A|=|B|=|C|=n$. Demuestre que existen $x \in A$, $y \in B$, $z \in C$ tal que uno de $x,y,z$ es la suma de los otros dos.

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $r, r_1, r_2, r_3$ su inradio y los exradios opuestos a los vértices $A,B,C$, respectivamente. Suponga que $a>r_1, b>r_2, c>r_3$. Demuestre que (a) el triángulo $ABC$ es acutángulo, (b) $a+b+c>r+r_1+r_2+r_3$.

$p$ es un polinomio con coeficientes enteros y para cada $n$ natural tenemos $p(n)>n$. $x_k$ es una secuencia que: $x_1=1, x_{i+1}=p(x_i)$ para cada $N$ uno de $x_i$ es divisible por $N.$ Pruebe que $p(x)=x+1$

Un zig-zag en el plano consta de dos semirrectas paralelas conectadas por un segmento de línea. Encuentra $z_n$, el número máximo de regiones en las que $n$ zig-zags pueden dividir el plano. Por ejemplo, $z_1=2,z_2=12$ (ver el diagrama). De estas $z_n$ regiones, ¿cuántas son acotadas? [Los zig-zags pueden ser tan estrechos como se quiera.] Exprese sus respuestas como polinomios en $n$ de grado no superior a $2$.

En la recta numérica real, pinte de rojo todos los puntos que corresponden a enteros de la forma $81x+100y$, donde $x$ e $y$ son enteros positivos. Pinte el punto entero restante de azul. Encuentre un punto $P$ en la línea tal que, para cada punto entero $T$, el reflejo de $T$ con respecto a $P$ es un punto entero de un color diferente al de $T$.

Hay cuatro líneas en el plano, no hay tres concurrentes, no hay dos paralelas y no hay tres que formen un triángulo equilátero. Si una de ellas es paralela a la línea de Euler del triángulo formado por las otras tres líneas, demuestre que una afirmación similar se cumple para cada una de las otras líneas.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para todos los reales $x$ e $y$, \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y).\]

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que (i) $a \leq b \leq c$; (ii) $\text{gcd}(a,b,c)=1$; y (iii) $a^3+b^3+c^3$ es divisible por cada uno de los números $a^2b, b^2c, c^2a$.