Sean $A',B',C'$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$, respectivamente, de un triángulo acutángulo no isósceles $ABC$, y sean $D,E,F$ los pies de las alturas que pasan por los vértices $A,B,C$ en estos lados respectivamente. Considere el arco $DA'$ del círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ que se encuentra fuera del triángulo. Sea el punto de trisección de este arco más cercano a $A'$, $A''$. Defina análogamente los puntos $B''$ (en el arco $EB'$) y $C''$ (en el arco $FC'$). Demuestre que el triángulo $A''B''C''$ es equilátero.

Demuestra que para cualquier número real $x$ : \[ x^2 \sin{x} + x \cos{x} + x^2 + \frac{1}{2} > 0 . \]

Sea $A_1A_2A_3 \ldots A_{21}$ un polígono regular de 21 lados inscrito en un círculo con centro $O$. ¿Cuántos triángulos $A_iA_jA_k$, $1 \leq i < j < k \leq 21$, contienen el punto central $O$ en su interior?

Demuestra que para cualquier triángulo $ABC$, la siguiente desigualdad es verdadera: \[ a^2 + b^2 +c^2 > \sqrt{3} max \{ |a^2 - b^2|, |b^2 -c^2|, |c^2 -a^2| \} . \]

Demuestra que la ecuación cuadrática $x^2 + 7x - 14 (q^2 +1) =0$, donde $q$ es un entero, no tiene raíz entera.

Prueba que entre cualesquiera $18$ números de tres dígitos consecutivos hay al menos un número que es divisible por la suma de sus dígitos.

Llama a un entero positivo $n$ bueno si hay $n$ enteros, positivos o negativos, y no necesariamente distintos, tales que su suma y producto son ambos iguales a $n$. Demuestra que los enteros de la forma $4k+1$ y $4l$ son buenos.

En el triángulo $ABC$, $K$ y $L$ son puntos en el lado $BC$ (con $K$ más cerca de $B$ que $L$) tal que $BC \cdot KL = BK \cdot CL$ y $AL$ biseca $\angle KAC$. Demuestra que $AL \perp AB$.

Hay $n > 1$ puntos distintos marcados en el plano. Pruebe que existe un conjunto de círculos $\mathcal C$ tal que ___ $\bullet$ Cada círculo en $\mathcal C$ tiene radio unitario. ___ $\bullet$ Cada punto marcado se encuentra en el interior (estricto) de algún círculo en $\mathcal C$ . ___ $\bullet$ Hay menos de $0.3n$ pares de círculos en $\mathcal C$ que se intersecan en exactamente $2$ puntos. Nota: Los resultados más débiles con $\it{0.3n}$ reemplazado por $\it{cn}$ pueden recibir puntos dependiendo del valor de la constante $\it{c > 0.3}$ .

Pruebe que existe una función $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface lo siguiente: ___ 1. Para todos los enteros positivos $m, n$ tenemos \[\gcd(|f(m)-f(n)|, f(mn)) = f(\gcd(m, n))\] ___ 2. Para todos los enteros positivos $m$ , tenemos $f(f(m)) = f(m)$ . ___ 3. Para todos los enteros positivos $k$ , existe un entero positivo $n$ con $2024^{k} \mid f(n)$ .