Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y $\angle BAC = 60^{\circ}$ . La bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ se encuentra con la línea $BC$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $M,L$ respectivamente. Sea $K$ la reflexión de $BL\cap AC$ sobre la línea $BC$ . Sea $D$ en la línea $CO$ con $DM$ perpendicular a $KL$ . Pruebe que los puntos $K,A,D$ son colineales.

Sea $\Delta_0$ un triángulo equilátero con circunferencia inscrita $\omega$ . Un punto en $\omega$ se refleja en los lados de $\Delta_0$ para obtener un nuevo triángulo $\Delta_1$ . El mismo punto se refleja entonces sobre los lados de $\Delta_1$ para obtener otro triángulo $\Delta_2$ . Pruebe que la circunferencia circunscrita de $\Delta_2$ es tangente a $\omega$ .

Un acto de circo consiste en $2024$ palos de bambú de alturas distintas por pares colocados en algún orden, con un mono parado encima de uno de ellos. El maestro de circo puede entonces dar órdenes al mono de la siguiente manera: ___ $\bullet$ ¡Izquierda! : Cuando se da esta orden, el mono localiza el palo de bambú más cercano a la izquierda más alto que aquel en el que se encuentra actualmente, y salta a él. Si no hay tal palo, el mono se queda quieto. ___ $\bullet$ ¡Derecha! : Cuando se da esta orden, el mono localiza el palo de bambú más cercano a la derecha más alto que aquel en el que se encuentra actualmente, y salta a él. Si no hay tal palo, el mono se queda quieto. El maestro de circo afirma que dados dos palos de bambú cualesquiera, si el mono está originalmente encima del palo más corto, entonces después de dar a lo sumo $c$ órdenes puede reposicionar al mono encima del palo más alto. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $c$ ?

Denotemos por $\mathbb{S}$ el conjunto de todos los subconjuntos propios de $\mathbb{Z}_{>0}$ . Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{S} \mapsto \mathbb{Z}_{>0}$ que satisfacen lo siguiente: ___ 1. Para todos los conjuntos $A, B \in \mathbb{S}$ tenemos \[f(A \cap B) = \text{min}(f(A), f(B)).\] ___ 2. Para todos los enteros positivos $n$ tenemos \[\sum \limits_{X \subseteq [1, n]} f(X) = 2^{n+1}-1.\] (Aquí, por un subconjunto propio $X$ de $\mathbb{Z}_{>0}$ queremos decir $X \subset \mathbb{Z}_{>0}$ con $X \ne \mathbb{Z}_{>0}$ . Se permite que $X$ tenga tamaño infinito.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que admite una circunferencia inscrita. Sea $AB$ extendida más allá de $B$ que se encuentra con $DC$ extendida hacia $C$ , en $E$ . Sea $BC$ extendida más allá de $C$ que se encuentra con $AD$ extendida hacia $D$ , en $F$ . Sea $G$ el punto en la línea $AB$ de modo que $FG \parallel CD$ , y sea $H$ el punto en la línea $BC$ de modo que $EH \parallel AD$ . Pruebe que el cuadrilátero (cóncavo) $EGFH$ admite una circunferencia exinscrita tangente a $\overline{EG}, \overline{EH}, \overrightarrow{FG}, \overrightarrow{FH}$ .

Fije un entero positivo $a > 1$ . Considere triples $(f(x), g(x), h(x))$ de polinomios con coeficientes enteros, tales que 1. $f$ es un polinomio mónico con $\deg f \ge 1$ . 2. Existe un entero positivo $N$ tal que $g(x)>0$ para $x \ge N$ y para todos los enteros positivos $n \ge N$ , tenemos $f(n) \mid a^{g(n)} + h(n)$ . Encuentre todos esos triples posibles.

Hay $n$ ciudades en un país, una de las cuales es la capital. Una aerolínea opera vuelos bidireccionales entre algunos pares de ciudades de tal manera que se puede llegar a cualquier ciudad desde cualquier otra ciudad. La aerolínea quiere cerrar algunos (posiblemente cero) número de vuelos, de modo que el número de vuelos necesarios para llegar a cualquier ciudad en particular desde la capital no aumente. Suponga que hay un número impar de formas en que la aerolínea puede hacer esto. Pruebe que el conjunto de ciudades se puede dividir en dos grupos, de modo que no haya ningún vuelo entre dos ciudades del mismo grupo.

En una conferencia, participan matemáticos de $11$ países diferentes y tienen edades de valor entero entre $27$ y $33$ años (incluidos $27$ y $33$ ) . Hay al menos un matemático de cada país, y hay al menos un matemático de cada edad posible entre $27$ y $33$ . Demuestre que podemos encontrar al menos cinco matemáticos $m_1, \ldots, m_5$ tales que para cualquier $i \in \{1, \ldots, 5 \}$ hay más matemáticos en la conferencia que tienen la misma edad que $m_i$ que aquellos que tienen la misma nacionalidad que $m_i$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $BA$ extendida más allá de $A$ que se encuentra con $CD$ extendida más allá de $D$ , en $L$ . Sea $\ell$ una línea que pasa por $L$ que se encuentra con $AD$ y $BC$ en $M$ y $N$ respectivamente, de modo que $M,D$ (respectivamente $N,C$ ) están en lados opuestos de $A$ (resp. $B$ ) . Suponga que $K$ y $J$ son puntos en el arco $AB$ de $\omega$ que no contiene $C,D$ de modo que $MK, NJ$ son tangentes a $\omega$ . Pruebe que $K,J,L$ son colineales.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ tales que \[ xf(xf(y)+yf(x))= x^2f(y)+yf(x)^2, \] para todos los números reales $x,y$ .