Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ , y sean $O,H$ su circuncentro y ortocentro respectivamente. Los puntos $Z,Y$ se encuentran en los segmentos $AB,AC$ respectivamente, tales que \[\angle ZOB=\angle YOC = 90^{\circ}.\] La línea perpendicular de $H$ a la línea $YZ$ se encuentra con las líneas $BO$ y $CO$ en $Q,R$ respectivamente. Sean las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle AYZ$ en los puntos $Y$ y $Z$ que se encuentran en el punto $T$ . Pruebe que $Q, R, O, T$ son concíclicos.

Hay $n\ge 3$ partículas en un círculo situadas en los vértices de un $n$ - gono regular. Todas estas partículas se mueven en el círculo con la misma velocidad constante. Una de las partículas se mueve en el sentido de las agujas del reloj, mientras que todas las demás se mueven en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando las partículas chocan, es decir, están todas en el mismo punto, todas invierten la dirección de su movimiento y continúan con la misma velocidad que antes. Sea $s$ el número más pequeño de colisiones después de las cuales todas las partículas regresan a sus posiciones originales. Encuentre $s$ .

Sea $r>0$ un número real. Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos $r$ - bueno si todas sus raíces tienen valor absoluto como máximo $r$ . Llamamos a un polinomio mónico con coeficientes complejos primordial si todos sus coeficientes tienen valor absoluto como máximo $1$ . a) Pruebe que cualquier polinomio $1$ - bueno tiene un múltiplo primordial. b) Si $r>1$ , pruebe que existe un polinomio $r$ - bueno que no tiene un múltiplo primordial.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $a, b, c$ , tenemos \[ f(a+b+c)f(ab+bc+ca) - f(a)f(b)f(c) = f(a+b)f(b+c)f(c+a). \]

Sean $a$ y $n$ enteros positivos tales que: 1. $a^{2^n}-a$ es divisible por $n$ , 2. $\sum\limits_{k=1}^{n} k^{2024}a^{2^k}$ no es divisible por $n$ . Pruebe que $n$ tiene un factor primo menor que $2024$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ , incentro $I$ , y sea $M$ el punto medio del arco mayor $BAC$ . Suponga que la línea perpendicular de $A$ al segmento $BC$ se encuentra con las líneas $BI$ , $CI$ , y $MI$ en los puntos $P$ , $Q$ , y $K$ respectivamente. Pruebe que la línea $A-$ mediana en $\triangle AIK$ pasa por el circuncentro de $\triangle PIQ$ .

En una fiesta de IMOTC, todas las personas tienen edades distintas por pares. Algunos pares de personas son amigos y la amistad es mutua. Llame a una persona joven si es más joven que todos sus amigos, y mayor si es mayor que todos sus amigos. Una persona sin amigos es tanto joven como mayor. Una secuencia de personas distintas por pares $A_1, \dots, A_m$ se llama fotogénica si: 1. $A_1$ es joven , 2. $A_m$ es mayor , y 3. $A_i$ y $A_{i+1}$ son amigos, y $A_{i+1}$ es mayor que $A_i$ para todo $1 \leq i \leq m-1$ . Sea $k$ un entero positivo tal que para cada secuencia fotogénica $A_1, \dots, A_m$ , $m$ no es divisible por $k$ . Pruebe que las personas en la fiesta se pueden dividir en $k$ grupos de modo que no haya dos personas en el mismo grupo que sean amigos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$ y circunferencia inscrita $\omega$ . Sea $\omega$ tangente a los lados $BC, CA,$ y $AB$ en $D, E,$ y $F$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ puntos fuera de $\triangle ABC$ que satisfacen \[\angle BDX = \angle XEA = \angle YDC = \angle AFY = 45^{\circ}.\] Pruebe que las circunferencias circunscritas de $\triangle AXY, \triangle AEF$ y $\triangle ABC$ se encuentran en un punto $Z\ne A$ .

Sea $n$ un entero positivo. Sea $s: \mathbb N \to \{1, \ldots, n\}$ una función tal que $n$ divide a $m-s(m)$ para todos los enteros positivos $m$ . Sean $a_0, a_1, a_2, \ldots$ una secuencia tal que $a_0=0$ y \[a_{k}=a_{k-1}+s(k) \text{ para todo }k\ge 1.\] Encuentre todos los $n$ para los cuales esta secuencia contiene todos los residuos módulo $(n+1)^2$ .

Sea $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ un polinomio con coeficientes racionales y grado $d\ge 2$ . Pruebe que no existe una secuencia infinita $a_0, a_1, \ldots$ de números racionales tal que $P(a_i)=a_{i-1}+i$ para todo $i\ge 1$ .