Sean $x_1, x_2 \dots, x_{2024}$ números reales no negativos tales que $x_1 \le x_2\cdots \le x_{2024}$ , y $x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_{2024}^3 = 2024$ . Pruebe que \[\sum_{1 \le i < j \le 2024} (-1)^{i+j} x_i^2 x_j \ge -1012.\]

Un conejo dormido se encuentra en el interior de un $2024$ - gono convexo. Un cazador elige tres vértices del polígono y coloca una trampa que cubre el interior y el borde de la región triangular determinada por ellos. Determina el número mínimo de veces que necesita hacer esto para garantizar que el conejo quede atrapado.

Sea $d(m)$ denota el número de divisores enteros positivos de un entero positivo $m$. Si $r$ es el número de enteros $n \leqslant 2023$ para los cuales $\sum_{i=1}^{n} d(i)$ es impar. , encuentra la suma de los dígitos de $r.$

Un entero positivo $n>1$ se llama hermoso si $n$ se puede escribir de una y solo una forma como $n=a_1+a_2+\cdots+a_k=a_1 \cdot a_2 \cdots a_k$ para algunos enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_k$, donde $k>1$ y $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k$. (Por ejemplo, 6 es hermoso ya que $6=3 \cdot 2 \cdot 1=3+2+1$, y esto es único. Pero 8 no es hermoso ya que $8=4+2+1+1=4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1$ así como $8=2+2+2+1+1=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1$, por lo que se pierde la unicidad.) Encuentra el número hermoso más grande menor que 100.

En cada lado de un triángulo equilátero con lado de longitud $n$ unidades, donde $n$ es un entero, $1 \leq n \leq 100$, considera $n-1$ puntos que dividen el lado en $n$ segmentos iguales. A través de estos puntos, dibuja líneas paralelas a los lados del triángulo, obteniendo una red de triángulos equiláteros de lado de longitud una unidad. En cada uno de los vértices de estos pequeños triángulos, coloca una moneda boca arriba. Se dice que dos monedas son adyacentes si la distancia entre ellas es 1 unidad. Un movimiento consiste en voltear tres monedas mutuamente adyacentes. Encuentra el número de valores de $n$ para los cuales es posible voltear todas las monedas boca abajo después de un número finito de movimientos.

Se dice que una cuádrupleta $(a,b,c,d)$ de enteros distintos es $\textit{balanceada}$ si $a+c=b+d$. Sea $\mathcal{S}$ cualquier conjunto de cuádruples $(a,b,c,d)$ donde $1 \leqslant a<b<d<c \leqslant 20$ y donde la cardinalidad de $\mathcal{S}$ es $4411$. Encuentra el menor número de cuádruples balanceadas en $\mathcal{S}.$

En la tierra de Binary, la unidad de moneda se llama Ben y los billetes están disponibles en denominaciones $1,2,2^2,2^3,..$ Bens. Las reglas del Gobierno de Binary estipulan que uno no puede usar más de dos billetes de ninguna denominación en ninguna transacción. Por ejemplo, uno puede dar cambio por $2$ Bens de dos maneras: $2$ billetes de un Ben o $1$ billete de dos Ben. Para $5$ Ben uno puede dar $1$ billete de un Ben y $1$ billete de cuatro Ben o $1$ billete de Ben y $2$ billetes de dos Ben. Usar $5$ billetes de un Ben o $3$ billetes de un Ben y $1$ billete de dos Ben para una transacción de $5$ Ben está prohibido. Encuentra el número de formas en que uno puede dar un cambio de $100$ Bens siguiendo las reglas del Gobierno.

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que haya al menos $1000$ pares no ordenados de diagonales en un polígono regular con $n$ vértices que se intersecan en un ángulo recto en el interior del polígono.

Un trapecio en el plano es un cuadrilátero en el que un par de lados opuestos son paralelos. Se dice que un trapecio es no degenerado si tiene un área positiva. Encuentra el número de trapecios mutuamente no congruentes y no degenerados cuyos lados son cuatro enteros distintos del conjunto $\{5,6,7,8,9,10\}$

En el plano coordenado, un punto se llama un $\text{punto reticular}$ si ambas coordenadas son enteros. Sea $A$ el punto $(12,84)$. Encuentra el número de triángulos rectángulos $ABC$ en el plano coordenado $B$ y $C$ son puntos reticulares, que tienen un ángulo recto en el vértice $A$ y cuyo incentro está en el origen $(0,0)$.