En un triángulo equilátero de lado 6, se colocan clavijas en los vértices y también uniformemente a lo largo de cada lado a una distancia de 1 entre sí. Se eligen cuatro clavijas distintas de las 15 clavijas interiores en los lados (es decir, las elegidas no son vértices del triángulo) y cada clavija se une al vértice opuesto respectivo mediante un segmento de línea. Si $N$ denota el número de formas en que podemos elegir las clavijas de modo que los segmentos de línea dibujados dividan el interior del triángulo en exactamente nueve regiones, encuentra la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Para $n \in \mathbb{N}$, considera funciones no negativas $f$ en $\{1,2, \cdots , n\}$ que satisfacen $f(i) \geqslant f(j)$ para $i>j$ y $\sum_{i=1}^{n} (i+ f(i))=2023.$ Elige $n$ tal que $\sum_{i=1}^{n} f(i)$ sea al menos. ¿Cuántas funciones existen en ese caso?

Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ de enteros, sea $\max (X)$ denota el elemento más grande de $X$ y $|X|$ denota el número de elementos en $X$. Si $N$ es el número de pares ordenados $(A, B)$ de conjuntos finitos no vacíos de enteros positivos, tales que \n$$ \begin{aligned} & \max (A) \times|B|=12 ; \text { y } \\ & |A| \times \max (B)=11 \end{aligned} $$\ny $N$ se puede escribir como $100 a+b$ donde $a, b$ son enteros positivos menores que 100, encuentra $a+b$.

Para $n \in \mathbb{N}$, sea $P(n)$ denota el producto de los dígitos en $n$ y $S(n)$ denota la suma de los dígitos en $n$. Considera el conjunto $A=\{n \in \mathbb{N}: P(n)$ es no nulo, libre de cuadrados y $S(n)$ es un divisor propio de $P(n)\}$. Encuentra el número máximo posible de dígitos de los números en $A$.

Sea $\mathcal{P}$ un polígono convexo con $50$ vértices. Se dice que un conjunto $\mathcal{F}$ de diagonales de $\mathcal{P}$ es $\textit{mínimamente amigable}$ si cualquier diagonal $d \in \mathcal{F}$ interseca a lo sumo otra diagonal en $\mathcal{F}$ en un punto interior a $\mathcal{P}.$ Encuentra el mayor número posible de elementos en un conjunto $\textit{mínimamente amigable}$ $\mathcal{F}$.

Considera el conjunto \n$$ \mathcal{S}=\{(a, b, c, d, e): 0<a<b<c<d<e<100\} $$\ndonde $a, b, c, d, e$ son enteros. Si $D$ es el valor promedio del cuarto elemento de dicha tupla en el conjunto, tomado sobre todos los elementos de $\mathcal{S}$, encuentra el entero más grande menor o igual a $D$.

Los seis lados de un hexágono convexo $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6$ están coloreados de rojo. Cada una de las diagonales del hexágono está coloreada de rojo o azul. Si $N$ es el número de coloraciones tales que cada triángulo $A_i A_j A_k$, donde $1 \leq i<j<k \leq 6$, tiene al menos un lado rojo, encuentra la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Sea $A B C D$ un cuadrado unitario. Suponga que $M$ y $N$ son puntos en $B C$ y $C D$ respectivamente tales que el perímetro del triángulo $M C N$ es 2. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $M A N$, y $P$ sea el circuncentro del triángulo $M O N$. Si $\left(\frac{O P}{O A}\right)^2=\frac{m}{n}$ para algunos enteros positivos relativamente primos $m$ y $n$, encuentra el valor de $m+n$.

Sea $A B C$ un triángulo en el plano $x y$, donde $B$ está en el origen $(0,0)$. Sea $B C$ producido a $D$ tal que $B C: C D=1: 1, C A$ sea producido a $E$ tal que $C A: A E=1: 2$ y $A B$ sea producido a $F$ tal que $A B: B F=1: 3$. Sea $G(32,24)$ el centroide del triángulo $A B C$ y $K$ sea el centroide del triángulo $D E F$. Encuentra la longitud $G K$.

Los ex-radios de un triángulo son $10\frac{1}{2}, 12$ y $14$. Si los lados del triángulo son las raíces de la cúbica $x^3-px^2+qx-r=0$, donde $p, q,r $ son enteros , encuentra el entero más cercano a $\sqrt{p+q+r}.$