Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z) $ que satisfacen la ecuación $$x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-63.$$

Un concurso de matemáticas consta de $9$ preguntas de tipo objetivo y $6$ preguntas de completar los espacios en blanco. De una escuela, un número de estudiantes tomaron la prueba y se observó que todos los estudiantes habían intentado exactamente $14$ de $15$ preguntas. Sean $O_1, O_2, \dots , O_9$ las nueve preguntas objetivas y $F_1, F_2, \dots , F_6$ las seis preguntas de completar los espacios en blanco. Sea $a_{ij}$ el número de estudiantes que intentaron ambas preguntas $O_i$ y $F_j$ . Si la suma de todos los $a_{ij}$ para $i=1, 2,\dots , 9$ y $j=1, 2,\dots , 6$ es $972$ , entonces encuentra el número de estudiantes que tomaron la prueba en la escuela.

En la figura, $BC$ es un diámetro del círculo, donde $BC=\sqrt{257}$ , $BD=1$ y $DA=12$ . Encuentra la longitud de $EC$ y, por lo tanto, encuentra la longitud de la altitud desde $A$ a $BC$ .

Encuentra el número de permutaciones $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8$ de los enteros $-3, -2, -1, 0,1,2,3,4$ que satisfacen la cadena de desigualdades $$x_1x_2\le x_2x_3\le x_3x_4\le x_4x_5\le x_5x_6\le x_6x_7\le x_7x_8.$$

Dados números reales positivos $a, b, c, d$ tales que $cd=1$ . Demuestra que existe al menos un entero positivo $m$ tal que $$ab\le m^2\le (a+c) (b+d). $$

En un cuadrilátero convexo $PQRS$ , las áreas de los triángulos $PQS$ , $QRS$ y $PQR$ están en la razón $3:4:1$ . Una línea que pasa por $Q$ corta a $PR$ en $A$ y a $RS$ en $B$ tal que $PA:PR=RB:RS$ . Demuestra que $A$ es el punto medio de $PR$ y $B$ es el punto medio de $RS$ .

Sea $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ una función que satisface $f(0) \ne 0$ , $f(1) = 0$ y $(i) f(xy) + f(x)f(y) = f(x) + f(y)$ $(ii)\left(f(x-y) - f(0)\right ) f(x)f(y) = 0 $ para todo $x,y \in \mathbb{Z}$ , simultáneamente. $(a)$ Encuentre el conjunto de todos los valores posibles de la función $f$ . $(b)$ Si $f(10) \ne 0$ y $f(2) = 0$ , encuentre el conjunto de todos los enteros $n$ tales que $f(n) \ne 0$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D,E,F$ puntos en $BC, CA, AB$ tales que $AD$ es la mediana, $BE$ es la bisectriz interna y $CF$ es la altura. Suponga que $\angle FDE=\angle C, \angle DEF=\angle A$ y $\angle EFD=\angle B.$ Muestre que $ABC$ es equilátero.

Sea $ABC$ un triángulo. Se dice que un punto interior $P$ de $ABC$ es bueno si podemos encontrar exactamente $27$ rayos que emanan de $P$ e intersecan los lados del triángulo $ABC$ de tal manera que el triángulo está dividido por estos rayos en $27$ triángulos más pequeños de igual área. Determine el número de puntos buenos para un triángulo $ABC$ dado.

Defina una secuencia $<f_0 (x), f_1 (x), f_2 (x), \dots>$ de funciones por $$f_0 (x) = 1$$ $$f_1(x)=x$$ $$(f_n(x))^2 - 1 = f_{n+1}(x) f_{n-1}(x)$$ para $n \ge 1$. Demuestre que cada $f_n (x)$ es un polinomio con coeficientes enteros.