Determina todos los enteros positivos $n$ con la propiedad de que $n = (d(n))^2$. Aquí $d(n)$ denota el número de divisores positivos de $n$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero de altura 1. Un círculo con radio 1 y centro en el mismo lado de $AB$ que $C$ rueda a lo largo del segmento $AB$. Demuestra que el arco del círculo que está dentro del triángulo siempre tiene la misma longitud.

Encuentra todas las soluciones reales a la ecuación $4x^2 - 40 \lfloor x \rfloor + 51 = 0$.

Un paralelepípedo tiene la propiedad de que todas las secciones transversales, que son paralelas a cualquier cara fija $F$, tienen el mismo perímetro que $F$. Determine si algún otro poliedro tiene esta propiedad o no.

Una estudiante que juega tira una moneda justa. Ella gana $1$ punto por cada cara que aparece, y gana $2$ puntos por cada cruz que aparece. Demuestre que la probabilidad de que la estudiante obtenga exactamente $n$ puntos es $\frac{1}{3}\cdot\left(2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)$.

Entre todos los triángulos que tienen (i) un ángulo fijo $A$ y (ii) un círculo inscrito de radio fijo $r$, determine qué triángulo tiene el perímetro mínimo más pequeño.

Los números del $1$ al $50$ están impresos en tarjetas. Las tarjetas se barajan y luego se colocan boca arriba en $5$ filas de $10$ tarjetas cada una. Las tarjetas de cada fila se reorganizan para que aumenten de izquierda a derecha. Las tarjetas de cada columna se reorganizan para que aumenten de arriba a abajo. En la disposición final, ¿las tarjetas de las filas siguen aumentando de izquierda a derecha?

Si $a679b$ es la expansión decimal de un número en base $10$, tal que es divisible por $72$, determine $a,b$.

Determine todos los pares $(n,m)$ de enteros positivos para los cuales existe una secuencia infinita $\{x_k\}$ de $0$ ' s y $1$ ' s con las propiedades de que si $x_i=0$ entonces $x_{i+m}=1$ y si $x_i = 1$ entonces $x_{i+n} = 0.$

Mil estudiantes participan en el Desafío Canadiense de Matemáticas Cerrado de $2011$. A cada estudiante se le asigna un número de identificación único de tres dígitos $abc,$ donde cada uno de $a, b$ y $c$ es un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. Más tarde, cuando se marquen los concursos, se contratará a varios marcadores. A cada uno de los marcadores se le dará un número de identificación único de dos dígitos $xy,$ con cada uno de $x$ e $y$ un dígito entre $0$ y $9,$ inclusive. El marcador $xy$ podrá marcar cualquier concurso con un número de identificación de la forma $xyA$ o $xAy$ o $Axy,$ para cualquier dígito $A.$ ¿Cuál es el número mínimo posible de marcadores que se contratarán para garantizar que todos los concursos sean marcados?