Dado cualquier entero positivo $n$ , demuestra que: (a) Cada $n$ puntos en el cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ se pueden unir mediante un camino de longitud menor que $2\sqrt{n}+4$ ; y (b) Existen $n$ puntos en el cuadrado unitario cerrado $[0,1]\times [0,1]$ que no se pueden unir mediante un camino de longitud menor que $\sqrt{n}-1$ .

Demuestra que: (a) Si $(a_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}$ es una constante cuando $n$ recorre todos los enteros positivos, entonces esta constante es un entero mayor o igual que $4$ ; y (b) Dado un entero $N\geq 4$ , existe una secuencia estrictamente creciente $(a_n)_{n\geq 1}$ de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}=N$ para todos los índices $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ se encuentra con los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Supón que $T$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determina todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

Dados enteros positivos $k$ y $m$ , demuestra que $m$ y $\binom{n}{k}$ son coprimos para infinitamente muchos enteros $n\geq k$ .

Determina los enteros $k\geq 2$ para los cuales la secuencia $\Big\{ \binom{2n}{n} \pmod{k}\Big\}_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}$ es eventualmente periódica.

Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_1,a_2,..,a_n$ enteros positivos distintos dos a dos. Muestra que $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{[a_1,a_2,…,a_k]}} <4,$$ donde $[a_1,a_2,…,a_k]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $a_1,a_2,…,a_k$ .

Sea $n$ un entero positivo, y sean $S_1,S_2,…,S_n$ una colección de conjuntos finitos no vacíos tales que $$\sum_{1\leq i<j\leq n}{\frac{|S_i \cap S_j|}{|S_i||S_j|}} <1.$$ Demuestra que existen elementos distintos dos a dos $x_1,x_2,…,x_n$ tales que $x_i$ es un miembro de $S_i$ para cada índice $i$ .

Dos círculos, $\omega_1$ y $\omega_2$ , con centros en $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, se encuentran en los puntos $A$ y $B$ . Una línea que pasa por $B$ se encuentra con $\omega_1$ nuevamente en $C$ , y con $\omega_2$ nuevamente en $D$ . Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, se encuentran en $E$ , y la línea $AE$ se encuentra con el círculo $\omega$ que pasa por $A, O_1,O_2$ nuevamente en $F$ . Demuestra que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$ .

Sea $ ABCD$ un tetraedro. Pruebe que si un punto $ M$ en un espacio satisface la relación: \begin{align*} MA^2 + MB^2 + CD^2 &= MB^2 + MC^2 + DA^2 \\ &= MC^2 + MD^2 + AB^2 \\ &= MD^2 + MA^2 + BC^2 . \end{align*} entonces se encuentra en la perpendicular común de las líneas $ AC$ y $ BD$ .

a) En un triángulo $ MNP$ , las longitudes de los lados son menores que $ 2$ . Pruebe que la longitud de la altura correspondiente al lado $ MN$ es menor que $ \sqrt {4 - \frac {MN^2}{4}}$ . b) En un tetraedro $ ABCD$ , al menos $ 5$ aristas tienen sus longitudes menores que $ 2$ . Pruebe que el volumen del tetraedro es menor que $ 1$ .