En el tablero de $3 \times 3$ de la figura se va a jugar un juego. Un movimiento permitido consiste en escoger uno de los cuadritos y cambiar de color (negro a blanco, y blanco a negro) todos los que están pegados a él, ya sea en diagonal o compartiendo un lado (el cuadrito elegido no cambia de color). Determinar si es posible, mediante movimientos permitidos, lograr que todos los cuadros de la figura dada queden del mismo color. [image]

En una cuadrícula de $12 \times 12$ las líneas de la orilla son continuas y las interiores son punteadas, como se muestra. Luis y Miguel van a jugar un juego sobre el tablero. En su turno Luis escoge alguna línea horizontal punteada y la remarca desde una orilla de la cuadrícula hasta la otra (es decir, hace continua la horizontal completa de longitud 12), después Miguel escoge una línea vertical punteada y la remarca (también toda la línea de longitud 12). Empieza Luis y después van alternando turnos escogiendo siempre líneas todavía punteadas (Luis siempre escoge horizontales y Miguel siempre escoge verticales). Gana el primero que logre formar, con las líneas continuas, un cuadrado de $1 \times 1$. Si los dos jugadores juegan inteligentemente, ¿cuál de ellos puede garantizar que va a ganar, y cómo deberá jugar para asegurar su triunfo? [image]

Encuentra todas las parejas de primos positivos $p$ y $q$ que satisfacen la siguiente ecuación $p^q + q^p = 2^{p+1} + 1$.

¿De cuántas formas es posible numerar del 1 al 6 todas las casillas de la figura de manera que no haya un par de casillas vecinas cuya resta sea múltiplo de 3? (Nota: Dos casillas que comparten sólo una esquina no se consideran vecinas.) [image]

¿Cuántos caminos hay del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si las direcciones permitidas son $ ightarrow$, $ earrow$, $ warrow$, $ ightarrow$ (es decir, cualquier sentido está permitido salvo $ ightarrow$) y no se permite pasar dos veces por el mismo punto? [image]

En la lista de 6 números $a, b, c, d, e, f$ cada uno es la suma de los anteriores a él (por ejemplo $d = a + b + c$). Si $f = 7392$, ¿cuánto vale $a$?

Una pelota rebota en las paredes marcadas con líneas gruesas en la figura y las distancias son todas de un metro como se indica. La pelota sale del punto $A$ hacia un punto a distancia $d$ de la orilla de la primera pared. ¿Cómo debe ser $d$ para que la pelota toque todas las paredes? (Recuerda que los rebotes de una pelota en una pared obedecen la siguiente regla: el ángulo de entrada es igual al de salida como indica el esquema) [image]

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) la suma de las cifras de $n$ es 18, (ii) $n + 3600$ es un cuadrado perfecto y (iii) $n < 2005$.

En el triángulo equilátero $ABC$ cada lado mide 2. Las alturas del triángulo se intersectan en el punto $H$ y la distancia de $H$ a cada lado es $k$. El triángulo $XYZ$ tiene lados paralelos a $ABC$ y las rectas $AH$, $BH$ y $CH$ cortan a los lados de $XYZ$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Si $HD = 2k$, $HE = 3k$ y $HF = 4k$, ¿cuánto mide el lado del triángulo $XYZ$? [image]

Dos personas $A$ y $B$ juegan alternando turnos y moviendo fichas dentro de las casillas del tablero que muestra la figura. Al principio las fichas están fuera del tablero (marcadas con $ riangle$ en la figura). En cada turno el jugador debe mover una ficha hacia la derecha o hacia abajo a una casilla desocupada. En el momento que una ficha llega a la casilla sombreada el juego termina. Si en ese momento el número de fichas dentro del tablero es par entonces gana $A$; si es impar entonces gana $B$. Considerando que $A$ juega primero y que los dos jugadores juegan apropiadamente (buscando el triunfo), ¿cuál de ellos ganará? [image]