El cuadrado $ABCD$ de la figura tiene lado 1 y $M$ es el punto medio del lado $AB$. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

¿De cuántas maneras es posible escoger 4 números enteros distintos entre 1 y 100 tales que $b = a + 1$ y $d = c + 1$?

Para un entero positivo $a$ llamemos $<a>$ al n\'umero que se obtiene multiplicando cada cifra de $a$ por 2 y escribiendo los n\'umeros as\'i obtenidos uno a continuaci\'on de otro. Por ejemplo $<126> = 2412$ y $<809> = 16018$. Probar que no es posible encontrar dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ tales que $<a> = <b>$.

El p\'ajaro Piol\'in quiere comerse un pedazo de pan que se encuentra en el centro de un reloj circular y despu\'es de com\'erselo, escapar. Piol\'in debe entrar y salir por donde est\'a el n\'umero 12. Piol\'in s\'olo puede volar de un n\'umero a otro en l\'inea recta con la siguiente regla: En el primer vuelo, avanza en cualquier sentido m\'aximo 1 n\'umero (es decir, se puede ir al $1$, al $11$ o quedarse en el $12$); si en un determinado vuelo avanz\'o $n$ n\'umeros, en el siguiente vuelo puede avanzar $n-1$, $n$ o $n+1$ n\'umeros en cualquier sentido. Por ejemplo, si en un paso vol\'o del $4$ al $7$ (es decir, avanz\'o $3$), en el siguiente puede volar avanzando $2$, $3$ o $4$ n\'umeros para llegar al $9$, $10$ u $11$ si va en el sentido de las manecillas del reloj, o al $3$, $4$ o $5$ si va en el otro sentido (ver la figura). S\'olo puede recoger el pan si pasa por encima de \'el cuando va volando de un n\'umero a otro. ¿Cu\'al es el m\'inimo n\'umero de vuelos que requiere hacer Piol\'in para escapar con el pan? [image]

Cada vez que el mago Merl\'in toca con su varita m\'agica un cuadrito de una cuadr\'icula de $n\times n$, donde $n$ es un entero impar, el color de todos los cuadros que est\'an en cualquiera de las dos diagonales donde est\'a el cuadro que toc\'o cambian de color de blanco a gris y viceversa (tambi\'en el cuadro que toc\'o cambia). Al principio todos los cuadros son blancos. (Por ejemplo, en la figura se ilustra a la izquierda qu\'e pasa si $n=7$ y Merl\'in toca al principio el cuadro $A$, y a la derecha se ilustra lo que pasa si despu\'es de haber tocado $A$ toca $B$.) En un determinado momento Merl\'in logr\'o que todos los cuadros fueran grises. Explica c\'omo pudo haberlo hecho. [image]

Encuentra el entero positivo $A$ que satisface $$A^{2} = 4\cdot2006 + 4\cdot2004 + 4\cdot2002 + \cdots + 4\cdot4 + 4\cdot2 + 1.$$

Cinco ni\~nos se dividen en grupos y en cada grupo se toman de la mano formando una rueda para bailar girando. ¿De cu\'antas maneras distintas se pueden distribuir si es v\'alido que haya grupos con cualquier n\'umero de ni\~nos entre 1 y 5 (y puede haber cualquier n\'umero de grupos)? (Nota: En la figura de abajo se da un ejemplo en que los cinco ni\~nos se han numerado y se han dividido en dos grupos, uno con 4 alumnos y otro con 1; la primera distribuci\'on y la segunda se consideran una misma, pero la tercera es distinta de las otras dos.) [image]

En el cuadril\'atero $ABCD$ se tiene $\angle BAC = \angle CAD$ y $BC$ es perpendicular a $AB$. Un punto $X$ sobre la diagonal $AC$ es tal que $XD$ es perpendicular a $AD$ y la distancia de $X$ a $B$ es igual a la longitud del lado $BC$. Prueba que $X$ est\'a sobre la diagonal $BD$.

En la figura se ha dibujado un cuadrado encima de otros tres. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

En el hexágono regular de la figura, cada lado mide $\sqrt{3}$ y se dibujaron dos cuadrados sobre los lados, como se muestra. (a) Probar que el triángulo $ABC$ es equilátero. (b) Encontrar la medida de los lados de los cuadrados. (c) Probar que el área del triángulo $BCD$ es $\frac{5\sqrt{3}}{4}$. [image]