¿Cuántos números de 19 cifras se pueden formar utilizando los dígitos 1, 2 y 3 si la diferencia entre dos cifras consecutivas debe ser siempre exactamente de 1?

¿Para cuántos números $a$ del 2 al 25 se tiene que $a^3 - a$ es un múltiplo de 84?

¿Cuál es el mínimo $n$ con el cual 100 tarjetas numeradas del 1 al 100 se pueden separar en $n$ montones (no necesariamente del mismo tamaño) de manera que cada montón tenga al menos dos tarjetas y en un mismo montón no haya dos tarjetas con suma múltiplo de 3?

En la figura de abajo a la izquierda, $ABC$ es un triángulo equilátero de lado 2. El círculo inscrito en ese triángulo tiene centro $O$; $D, E, y F$ son los puntos de intersección del círculo con las rectas $AO, BO, y CO$, respectivamente; $L, M, y N$ son puntos medios de los lados de $ABC$; $LHGC$ es cuadrado; $P, Q, R, y S$ son puntos medios de los lados de $LHGC$; $RZ$ es perpendicular a $HG$, y $HZ$ es paralela a $QR$. Usando las líneas de la figura es posible “caminar” de $A$ a $Z$ de varias maneras. Determinar (con demostración) cuál es el camino más corto y calcular su longitud.

En un triángulo $ABC$ el ángulo en $B$ mide 20° y el ángulo en $C$ mide 40°. El punto $E$ se encuentra sobre el lado $BC$ y es tal que $ riangle ABE = riangle AEC$. Probar que $|BC| = |AB| + |AE|$.

¿De cuántas maneras se pueden dibujar flechas entre parejas de puntos en la figura de la derecha si las tres condiciones siguientes deben satisfacerse: Ninguna flecha empieza y termina en el mismo renglón o en la misma columna En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que empieza ahí En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que termina ahí.

En la figura se muestra un hexágono regular $ABCDEF$ de lado 1. Los arcos de círculo que están dibujados tienen centro en cada vértice del hexágono y radio igual a la distancia al vértice opuesto. $P, Q, R, S, T$ y $U$ son los puntos donde se cortan estos arcos. ¿Cuánto mide cada lado del hexágono $PQRSTU$? [image]

Dado un entero positivo $n$ lo dividimos entre 2 sin considerar decimales; al nuevo número le hacemos lo mismo, y así sucesivamente hasta obtener el número 1. Nos fijamos en cuántos pasos hicimos para llegar a 1. Por ejemplo, si $n = 74$, entonces se necesitan 6 pasos $74 \rightarrow 37 \rightarrow 18 \rightarrow 9 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. ¿Cuántos enteros necesitan exactamente 10 pasos?

En la mesa hay 5 montones de fichas, cada uno con 5 fichas. Dos personas $A$ y $B$ van a jugar un juego por turnos. Empieza $A$. En cada turno el jugador debe retirar el número de fichas que quiera pero sólo de uno de los montones (por lo menos debe retirar una ficha). Pierde el primero que ya no pueda jugar. ¿Cuál de los dos jugadores puede asegurar su triunfo? y ¿cómo debe jugar para lograrlo?

En el siguiente tablero queremos acomodar los números del 1 al 12 (uno en cada cuadrito, sin repetir), de tal forma que en cada uno de los renglones y en cada una de las columnas la suma de los que aparezcan sea múltiplo de 3. (Nótese que hay 4 renglones y 6 columnas; dos de los renglones y dos de las columnas constan de un solo cuadrito.) Si los números 1 y 2 están en el lugar que se muestra, ¿de cuántas formas podemos hacer la distribución? [image]