Final Estatal OMM 2010 Problema 2
En una competencia de basquetbol entre 7 equipos todos jugaron el mismo número de juegos. Se sabe que no hubo empates, que dos de los equipos ganaron todos los juegos que jugaron y que otro de los equipos sólo perdió uno. Probar que forzosamente hay algún equipo que perdió todos los juegos que jugó.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 1
Encontrar el mayor número que no tenga cifras repetidas y que sea múltiplo de $99$.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 5
Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $BC || AD$, $| AB | = | CD |$ y $| BC | \\ \leq | AD |$. Un punto $P$ sobre el segmento $BC$ es tal que $\angle BAP = \angle PAD$. Probar que $|BP| \leq |PD|.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 3
Con piezas de madera de la forma indicada abajo se construyó un rectángulo de lados $a, b$. Determinar cuáles de los siguientes valores para $(a, b)$ son posibles y cuáles no. (Nota: Las piezas se pueden voltear o girar a conveniencia; son L’s construidas pegando tres cuadraditos de $1 × 1$.) $(a, b) = (3, 41), (35, 16), (28, 3), (35, 12), (33, 43), (9, 60).$ [image]
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Final Estatal OMM 2010 Problema 4
En un triángulo $ABC$, los puntos $P, Q$ y $R$ están sobre los lados $BC, AB$ y $CA$, respectivamente, de manera que $PQ$ es paralela a $AC$ y $PR$ es paralela a $AB$; los puntos $K, S$ y $T$ son las respectivas intersecciones de $AP$ con $QR$, de $CK$ con $AB$ y de $BK$ con $AC$. Probar que si $ST$ es paralela a $BC$ entonces $QR$ también es paralela a $BC$.
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Final Estatal OMM 2010 Problema 7
El dibujo muestra un rectángulo de $4 \times 7$ en el que el número de segmentos que unen puntos indicados por $\cdot$ es $134$. Determinar todas las posibles dimensiones de rectángulos que se pueden formar con el mismo patrón de construcción y que tengan también $134$ segmentos. [image]
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Final Estatal OMM 2010 Problema 8
¿De cuántas maneras diferentes es posible escribir $16$ como suma de enteros positivos impares? (Nota: El orden de los sumandos es importante; así, por ejemplo, $7 + 3 + 3 + 3$ y $3 + 7 + 3 + 3$ se consideran distintas.)
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Final Estatal OMM 2010 Problema 6
¿De cuántas maneras puede partirse el conjunto ${1, 2, \\ldots, 9}$ en tres conjuntos si cada uno de esos conjuntos debe tener $3$ elementos y la suma de los elementos en cada conjunto no debe ser múltiplo de $3$? (Nota: No importa el orden de los elementos dentro de cada conjunto ni tampoco el orden de los conjuntos; por ejemplo, las dos siguientes distribuciones se consideran una misma: ${ \{ {4, 1, 2}, {3, 7, 6}, {5, 8, 9} \} }$ y ${ \{ {3, 6, 7}, {9, 8, 5}, {1, 4, 2} \} }$. )
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Final Estatal OMM 2009 Problema 2
¿Cuántos subconjuntos de 3 elementos escogidos dentro de $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ son tales que la suma de sus tres elementos no es múltiplo de 4?
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Final Estatal OMM 2009 Problema 7
En la siguiente figura hay una ficha en cada uno de los 16 triangulitos. Cada ficha debe moverse a un triangulito adyacente (es decir, a un triangulito que comparta un lado con el triangulito en el cual está la ficha originalmente) exactamente una vez. (a) ¿Cuál es el máximo número de triangulitos que pueden quedar vacíos? (b) ¿Cuál es el mínimo número de triangulitos que pueden quedar vacíos? [image]
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