1 Halle todas las funciones $f$ del conjunto de los números reales en sí mismo que satisfacen \[ f(x(1+y)) = f(x)(1 + f(y)) \] para todos los números reales $x, y$ .

3 Definimos una operación $\oplus$ sobre el conjunto $\{0, 1\}$ mediante \[ 0 \oplus 0 = 0 \,, 0 \oplus 1 = 1 \,, 1 \oplus 0 = 1 \,, 1 \oplus 1 = 0 \,.\] Para dos números naturales $a$ y $b$ , que se escriben en base $2$ como $a = (a_1a_2 \ldots a_k)_2$ y $b = (b_1b_2 \ldots b_k)_2$ (posiblemente con ceros a la izquierda), definimos $a \oplus b = c$ , donde $c$ escrito en base $2$ es $(c_1c_2 \ldots c_k)_2$ con $c_i = a_i \oplus b_i$ , para $1 \le i \le k$ . Por ejemplo, tenemos $7 \oplus 3 = 4$ ya que $ 7 = (111)_2$ y $3 = (011)_2$ . Para un número natural $n$ , sea $f(n) = n \oplus \left[ n/2 \right]$ , donde $\left[ x \right]$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ . Demuestre que $f$ es una biyección sobre el conjunto de los números naturales.

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo con incentro $I$. Sean las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A_1, \angle A_2, \angle A_3$ que cortan nuevamente a la circunferencia circunscrita en $B_1, B_2, B_3$, respectivamente. Demuestra que $$ \frac{IA_i^2}{IB_i}\ge 2r $$ para cualquier $i\in \{1,2,3\}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia inscrita del triángulo $A_1A_2A_3$.

3 ¿Cuántas $6$ - uplas $(a, b, c, d, e, f)$ de números naturales existen para las cuales $a>b>c>d>e>f$ y $a+f=b+e=c+d=30$ se cumplen simultáneamente?

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a + b + c = 1$ . Si $n$ es un entero positivo, entonces demuestre que \[ \frac{(3a)^n}{(b + 1)(c + 1)} + \frac{(3b)^n}{(c + 1)(a + 1)} + \frac{(3c)^n}{(a + 1)(b + 1)} \ge \frac{27}{16} \,. \]

2 En un triángulo $ABC$ con $B = 90^\circ$ , $D$ es un punto del segmento $BC$ tal que los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ son iguales. Si $\widehat{ADB} = \varphi$ , entonces demuestre que $\tan^2 (\varphi/2) = \tan (C/2)$ .

3 Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego con $N \geq 2012$ monedas y $2012$ cajas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $A$ distribuye las monedas entre las cajas de modo que haya al menos $1$ moneda en cada caja. Luego ambos hacen movimientos en el orden $B,A,B,A,\ldots $ según las siguientes reglas: (a) En cada movimiento suyo, $B$ pasa $1$ moneda de cada caja a una caja adyacente. (b) En cada movimiento suyo, $A$ elige varias monedas que no estuvieron involucradas en el movimiento anterior de $B$ y que están en cajas distintas. Ella pasa cada moneda a una caja adyacente. El objetivo de la jugadora $A$ es asegurar al menos $1$ moneda en cada caja después de cada movimiento suyo, sin importar cómo juegue $B$ ni cuántos movimientos se hagan. Halle el menor $N$ que le permita tener éxito.

2024.1.3 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con una circunferencia circunscrita $\omega$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Los puntos $P\ne B$ y $Q\ne C$ se eligen sobre la circunferencia $\omega$ de modo que $BP \parallel DE$ y $CQ \parallel DE$. Sea $X$ la intersección de las rectas $DQ$ y $EP$. Sean $S$ y $T$ las proyecciones del punto $X$ sobre las rectas $AD$ y $DE$, respectivamente. Sea la recta $ST$ la que intersecta a la recta $BC$ en $M$. Demuestra que las rectas $XM$ y $BC$ son perpendiculares.

1 Para un entero positivo $n$ , una partición impar sum-amigable de $n$ es una sucesión $(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ de enteros positivos impares con $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k$ y $a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n$ tal que para todo entero positivo $m \le n$ , $m$ puede escribirse de manera única como una subsuma $m = a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ . (Dos subsumas $a_{i_1} + a_{i_2} + \cdots + a_{i_r}$ y $a_{j_1} + a_{j_2} + \cdots + a_{j_s}$ con $i_1 < i_2 < \cdots < i_r$ y $j_1 < j_2 < \cdots < j_s$ se consideran iguales si $r = s$ y $a_{i_l} = a_{j_l}$ para $1 \le l \le r$ . ) Por ejemplo, $(1, 1, 3, 3)$ es una partición impar sum-amigable de $8$ . Halle el número de particiones impares sum-amigables de $9999$ .

2 En un triángulo $ABC$ , sea $I$ su incentro. Se eligen puntos $D, E, F$ en los segmentos $BC, CA, AB$ , respectivamente, tales que $BD + BF = AC$ y $CD + CE = AB$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF, BFD, CDE$ intersecan las rectas $AI, BI, CI$ , respectivamente, en los puntos $K, L, M$ (distintos de $A, B, C$ ) , respectivamente. Demuestre que $K, L, M, I$ son concíclicos.